1、河南省巩义市2020届高三数学6月模拟考试试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分，考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效，交卷时只交答题卡.第卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题12个小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. 若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算，计算得到，进而得到共轭复数的虚部.【详解】因为，所以，所以其虚部为.故选A.【点
2、睛】本题考查复数的四则运算、共轭复数的虚部概念，考查对概念的理解与应用，属于基础题.3. 已知角终边上一点的坐标为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求，结合角的范围写出角即可.【详解】由诱导公式知，所以角终边上一点的坐标为，故角的终边在第三象限，所以，由知，.故选：C.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，诱导公式，特殊角的三角函数，属于容易题.4. 各项均不相等的等差数列的前5项的和，且，成等比数列，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的求和公式及通项公式，解方程即可求出.【详解】因为，所以，即，因为，成等比数列，
3、所以，即，解得或（数列各项不相等，舍去），所以，故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，求和公式，考查了运算能力，属于中档题.5. 已知是给定的平面，设不在内的任意两点M，N所在的直线为l，则下列命题正确的是（ ）A. 在内存在直线与直线l异面B. 在内存在直线与直线l相交C. 在内存在直线与直线l平行D. 存在过直线l的平面与平行【答案】A【解析】【分析】利用M、N是不在内的任意两点，可得直线l与平面平行或相交，进而可判断直线与平面内直线的位置关系.【详解】M、N是不在内的任意两点，则直线l与平面平行或相交，若l与平面平行，则在内不存在直线与直线l相交，所以B错误：若直线l与平面相
4、交，则不存在过直线l的平面与平行，所以D错误：若直线l与平面相交，则在内都不存在直线与直线l平行，所以C错误；不论直线l与平面平行还是相交.在内都存在直线与直线l异面，所以A正确.故选：A.【点睛】本题考查了直线与平面的位置关系，属于基础题.6. 某几何体三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据三视图可得该几何体是圆锥的一部分，结合三视图的数据，即可求解.【详解】从三视图中提供的图形信息与数据信息可知：该几何体的底面是圆心角为的扇形，高是4的圆锥体底面面积，所以其体积故选：D.【点睛】本题考查三视图求直观图的体积，由三视图
5、还原出直观图是解题的关键，属于基础题7. 设、依次表示函数，的零点，则、的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意可知，的图象与的图象的交点的横坐标依次为，作图可求解.【详解】依题意可得，的图象与的图象交点的横坐标为，作出图象如图：由图象可知，故选：D【点睛】本题主要考查了幂函数、指数函数、对数函数的图象，函数零点，数形结合的思想，属于中档题.8. 若数列为等差数列，为等比数列，且满足：，函数满足且，则（ ）A. eB. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先根据等差数列和等比数列的定义，可得，即可求出；又，所以函数的最小正周期为4，由此根据题意即可求出，
6、进而求出结果.【详解】因为数列为等差数列，且，所以；又为等比数列，且，所以，所以；又，所以，所以函数的最小正周期为4，又，所以 ，即.故选：A.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，同时考查了函数的周期性，属于基础题.9. 有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个，则取出的球的编号互不相同的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数，取出的编号互不相同包含的基本事件个数,由此能求出取出的编号互不相同的概率.【详解】有编号分别为1，2，3，4的4个红球和4个黑球，随机取出3个,基本事件总数，取出的编号互不相包含的基本事件个数，则
7、取出的编号互不相同的概率是，故选：A【点睛】本题主要考查了概率的求法，查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题.10. 设双曲线的左、右焦点分别为、，与圆相切的直线交双曲线于点（在第一象限），且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先设PF1与圆相切于点M,利用|PF2|= |F1F2|,及直线PF1与圆x2 + y2 = a2相切，可得a，c之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值.【详解】设PF1与圆相切于点M,如图，因为，所以为等腰三角形，N为的中点，所以，又因为在直角中，所以 ，又 ， ，由可得，即为，即，解得
8、，故选：B【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，双曲线的简单几何性质，属于中档题.11. 已知函数，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简函数为，由题意利用正弦函数的图象的对称性和周期性，求得的取值范围.【详解】因为 ，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间,则，即，由得对称轴方程为,所以且，解得,当时，满足，故的取值范围是，故选：A【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性和周期性，属于中档题.12. 对于函数，若存在区间，当时值域为，则称为倍值函数.若是倍值函数，则实数的取值范围是（
9、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】可看出在定义域内单调递增，可得出是方程的两个不同根，从而得出，通过求导，求出的值域，进而可得到的范围【详解】解：在定义域内单调递增，即，即是方程的两个不同根，设，时，；时，是的极小值点，的极小值为：，又趋向0时，趋向；趋向时，趋向，时，和的图象有两个交点，方程有两个解，实数的取值范围是故选B【点睛】本题考查了对倍值函数的理解，根据导数符号判断函数极值点的方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题二、填空题：（本大题4个小题，每小题5分，共20分）13. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有5个车次正点率为0.97，有1
10、0个车次的正点率为0.98，有5个车次正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_.【答案】0.98【解析】【分析】先求得总车次，再利用平均正点率求解.【详解】因为总车次：5+10+5=20所以平均正点率： 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98故答案为：0.98【点睛】本题主要考查了样本估计总体，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14. 已知函数在处的切线方程为，则满足的的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】因为，可得，即，所以，是上的增函数，结合已知，即可求得答案.【详解】，是上的增函数，又，.即故答案为：【点睛】本题主要考查了根据切线方程求参
11、数和解函数不等式，解题关键是掌握导数求切线方程的方法和导数判断函数单调的解法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15. 焦点为的抛物线的准线与坐标轴交于点，点在抛物线上，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】根据抛物线定义转化为取最大值，利用三角函数知直线AP倾斜角最小时，即直线与抛物线相切时，取最大值，联立方程利用判别式为0即可求解.【详解】根据题意，过做与准线垂直，垂足为，如图：设则若取得最大值，必有取得最小值，则取得最小值，此时AP与抛物线相切，设直线AP的方程为，联立，消去得： 由，解得：或，取来计算，知，所以的最大值为，故答案为：【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，直线与抛物线相
12、切，直线的倾斜角、斜率，属于中档题.16. 已知四面体，为边长为的等边三角形，若顶点在平面的投影是的垂心，则四面体的体积为_.【答案】【解析】【分析】由是的垂心，可证明，进一步证明，进一步证明在平面的射影是的中心，所以三棱锥是正三棱锥，其体积可求.【详解】解： 作平面，垂足为，是的垂心， 连结交于，连结交于，则，因为，所以，所以是边的中点，是边的垂直平分线，所以，平面，平面， 所以，平面，平面，所以平面，平面，所以平面，所以平面平面，在平面内作，垂足，平面平面，所以平面，平面，所以连结交于平面，平面， 所以平面，平面，所以，平面，平面，所以平面，平面，所以，由等边三角形的高线、中线、角平分线合
13、一，所以是的中心，所以三棱锥是正三棱锥，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中熟记三棱锥的几何结构特征，利用体积公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必做题：共60分.17. 已知中，角，的对边分别为，.（1）若，求的值；（2）若的平分线交于点，且，求的面积的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法一：根据条件、及正弦定理，化为角的等式，再由正弦差角公式，展开化简即可求得的值；解法二，根据余弦定理求得、的等量关系，即可再由余弦定理求得，
14、结合同角三角函数关系式求得，进而求得的值.（2）根据及三角形面积公式，代入即可得等式，结合基本不等式即可求得的最小值，进而得的面积的最小值.【详解】（1）解法一：由及正弦定理知，则，则，得解法二：，则，（2）的平分线交于点，则，则，由，得，当且仅当时等号成立，则.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式及基本不等式的用法，属于基础题.18. 如图，已知三棱柱的所有棱长均为2，（）证明：；（）若平面平面，为的中点，求与平面所成角的正弦值【答案】（）证明见解析（）【解析】【分析】（）根据等边三角形可知，可得平面，进而可求平面，即可求证；（）以为原点，为轴，为轴，为轴建
15、立空间直角坐标系，利用线面角的向量公式计算即可.【详解】证明：（）取中点，连接，如图，三棱柱的所有棱长均为2，和是边长为2的等边三角形，且，平面，平面平面，平面，平面，（）平面平面，且交线，由（）知，平面则，两两垂直，则以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系则，为的中点，设平面的法向量为，则，取，得设与平面所成的角为，则与平面所成角的正弦为【点睛】本题主要考查了线线、线面垂直的判定与性质，线面角的向量求法，考查了空间想象力及运算能力，属于中档题.19. 点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数（）求点的轨迹的方程；（）过坐标原点的直线交轨迹于，两点，轨迹上异于，的点满足直线的斜率为（）
16、求直线的斜率；（）求面积的最大值【答案】（）（）（）（）【解析】【分析】（）利用已知条件可得等式，化简可得曲线C的轨迹方程;（）（）设点，则点,利用点差法即可求解；（）由题意转化为，由弦长公式及点到直线的距离求出，利用二次函数求最值即可.【详解】（）由已知得，两边平方并化简得，即点的轨迹的方程为：（）（）设点，则点，满足， 设点，满足， 由得：，（），关于原点对称，设直线，代入曲线化简得：，设，由得：，点到直线的距离，当时，取到最大值【点睛】本题主要考查了椭圆的轨迹方程，点差法，直线与椭圆的位置关系，三角形的面积，属于难题.20. 某医药开发公司实验室有瓶溶液，其中瓶中有细菌，现需要把含有细菌
17、的溶液检验出来，有如下两种方案：方案一：逐瓶检验，则需检验次；方案二：混合检验，将瓶溶液分别取样，混合在一起检验，若检验结果不含有细菌，则瓶溶液全部不含有细菌；若检验结果含有细菌，就要对这瓶溶液再逐瓶检验，此时检验次数总共为.(1)假设，采用方案一，求恰好检验3次就能确定哪两瓶溶液含有细菌的概率；(2)现对瓶溶液进行检验，已知每瓶溶液含有细菌的概率均为.若采用方案一.需检验的总次数为,若采用方案二.需检验的总次数为.(i)若与的期望相等.试求关于的函数解析式;(ii)若,且采用方案二总次数的期望小于采用方案一总次数的期望.求的最大值.参考数据：【答案】（1）（2）（）（ii）8【解析】【分析】
18、（1）对可能的情况分类：前两次检验出一瓶含有细菌第三次也检验出一瓶含有细菌，前三次都没有检验出来，最后就剩下两瓶含有细菌；（2）(i)根据，找到与的函数关系；(ii)根据得到关于的不等式式，构造函数解决问题.【详解】解：（1）记所求事件为，“第三次含有细菌且前2次中有一次含有细菌”为事件，“前三次均不含有细菌”为事件，则，且互斥，所以（2），的取值为，所以，由得，所以；（ii）,所以，所以，所以设，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减又，所以的最大值为8【点睛】本题考查离散型随机变量的均值以及随机事件的概率计算，难度较难.计算两个事件的和事件的概率，如果两个事件互斥，可将结果写成两个事件的概
19、率之和；均值（或期望）的相关计算公式要熟记.21. 已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数有两个极值点（），若恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，令，利用判别式讨论的取值范围，结合导数与函数单调性的关系即可求解. （2）根据题意可得是方程的两个不等正实根，由（1）知，利用韦达定理得，且，然后分离参数只需恒成立，从而令，利用导数求出的最小值即可求解.【详解】（1）因为，所以令，当即时，即，所以函数单调递增区间为当即或时，若，则，所以，即，所以函数单调递增区间为若，则，由，即得或；由，即得所以函数的单调递增区间为；单调递减区间为综
20、上，当时，函数单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）由（1）得，若有两个极值点，则是方程的两个不等正实根，由（1）知则，故，要使恒成立，只需恒成立因为令，则，当时，为减函数，所以由题意，要使恒成立，只需满足所以实数的取值范围【点睛】本题考查函数和导数及其应用、不等式等基础知识；考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力与创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想等思想；考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性、创新性（二）选做题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.
21、 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，直线l的参数方程为(t为参数).点P为曲线E上的动点，点Q为线段OP的中点.（1）求点Q的轨迹(曲线C)的直角坐标方程； （2）若直线l交曲线C于A，B两点，点恰好为线段AB的三等分点，求直线l的普通方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）设点Q，P的极坐标分别为，由题意可得，由极坐标方程与直角坐标方程的转化公式即可得解；（2）直线参数方程代入曲线C的方程得，化简后利用韦达定理结合题意即可得解.【详解】（1）设点Q，P的极坐标分别为， 则且， 所以，所以点Q轨迹的极坐标方程为，故Q轨
22、迹的直角坐标方程为；（2）由（1）得曲线C的直角坐标方程为，将直线参数方程代入曲线C的方程得，即，由点恰好为线段AB的三等分点，不妨设方程两根为，所以，即，所以，又与在一、三象限同号，二、四象限异号，所以直线的斜率，又直线过，故直线的普通方程为或.【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了参数方程t的几何意义的应用，属于中档题.23. 已知函数（）当时，解不等式；（）若的值域为，证明：【答案】（）（）见解析【解析】【分析】（）分区间讨论去掉绝对值号即可求解；（）根据绝对值不等式可得，变形，利用基本不等式即可求证.【详解】（）当时，不等式为，当时，不等式化为，此时不等式无解；当时，不等式化为，故；当时，不等式化为，故综上可知，不等式的解集为（），的值域为，且，故故（当且仅当时取等号）【点睛】本题主要考查了分类讨论解不等式，基本不等式的运用，属于中档题.
