1、章末达标测试（二）(时间：150分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在同一坐标系中，方程a2x2b2y21和axby20(ab0)的曲线大致为解析将方程a2x2b2y21和axby20转化为1，y2x.因为ab0，所以0，所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左，故选D.答案D2与曲线1共焦点，而与曲线1共渐近线的双曲线方程为A.1B.1C.1 D.1解析曲线1的焦点为(0，5)，曲线1的渐近线为yx.设所求双曲线的方程为1(a0，b0)，于是解得a4，b3.故所求双曲线方程为1.答案A3
2、过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|A.B2C6 D4解析设A，B两点的坐标分别为(x，yA)，(x，yB)，将xc2代入渐近线方程为yx得到yA，yB，进而求|AB|.由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2，2)，(2，2)，所以|AB|4.答案D4椭圆x2my21的离心率为，则m的值为A2 B. C2或 D.或4解析x21表示椭圆，m0且m1.又e，e21，即.当0m1时，a2，b21，m，当m1时，a21，b2，m4.综上所述，m或4.故选D.答案D5(2018全国卷)已知椭圆C：1的
3、一个焦点为(2，0)，则C的离心率为A. B. C. D.解析不妨设a0，因为椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以椭圆C的离心率e.答案C6已知双曲线1(a0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为A.1 B.1C.1 D.1解析由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得 2.由双曲线的焦点(，0)在抛物线y24x的准线x上，可得 .由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.答案D7已知双曲线1右支上一点P到左焦点的距离为9，则P到右焦点的距离为A1 B5 C13 D5或13解析设双曲线的左、右焦点分别为F1，F2
4、，a24，a2，P在双曲线右支上，|PF1|PF2|4，又|PF1|9，|PF2|5.答案B8已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为A.1 B.1C.1 D.1解析1的焦距为10，c5.又双曲线渐近线方程为yx，且P(2，1)在渐近线上，1，即a2b.由解得a2，b，故应选A.答案A9已知P为抛物线y24x上一点，记P到抛物线的准线的距离为d1，P到直线x2y120的距离为d2，则d1d2的最小值为A. B.1C2 D不存在解析由抛物线定义知|PF|d1，则d1d2|PF|d2，d1d2的最小值是F到x2y120的距离，过F作直线x2y120的垂线，垂足为Q，
5、则|FQ|.答案A10如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是A. B. C. D.解析由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.答案A11等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x
6、的准线交于A，B两点，|AB|4，则C的实轴长为A. B2 C4 D8解析设C：1.抛物线y216x的准线为x4，联立1和x4得A(4，)，B(4，)，|AB|24，a2，2a4.C的实轴长为4.答案C12已知椭圆1，A，B分别是椭圆的右顶点、上顶点，M是第一象限内的椭圆上任意一点，O是坐标原点，则四边形OAMB面积的最大值为A8 B8 C12 D16解析设点M的坐标为(xM，yM)(xM0，yM0)点M在椭圆上，2x4y32.故四边形OAMB的面积S4yM2xMxM2yM 8(当且仅当xM2，yM2时取等号)答案A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中的横线上)13已
7、知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_解析双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.答案14椭圆1的两个焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_解析设P(x0，y0)，则(x0，y0)，(x0，y0)由已知得(x0，y0)(x0，y0)0，即x5y0，又因为1，所以10，所以x00，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_解析双曲线的两条渐近线方程为yx，与抛物线方程联立得交点A，B，抛物线焦点为F，由三角形垂心的性质，得BFOA，
8、即kBFkOA1，又kBF，kOA，所以有1，即，故C1的离心率e .答案16对于双曲线C：1，给出下面四个命题：曲线C不可能表示椭圆；当1k4时，曲线C表示椭圆；若曲线C表示双曲线，则k4；若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1k.其中命题正确的序号为_解析由解得1k或k4，此时方程表示椭圆，且1k时表示焦点在x轴上的椭圆，所以错，正确由(4k)(k1)0得k4，此时方程表示双曲线，故正确所以应填.答案三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(10分)已知直线yx4被抛物线y22mx(m0)截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解析设直线与抛物线的交
9、点为(x1，y1)，(x2，y2)由得x22(4m)x160，所以x1x22(4m)，x1x216，所以弦长为 2.由26，解得m1或m9.经检验，m1或m9均符合题意所以所求抛物线的标准方程为y22x或y218x.18(12分)已知椭圆的两焦点为F1(，0)，F2(，0)，离心率e.(1)求此椭圆的方程；(2)设直线l：yxm，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值解析(1)设椭圆的方程为1(ab0)，则c，所以a2，b2a2c21，所以所求椭圆的方程为y21.(2)由消去y，得5x28mx4(m21)0，则64m280(m21)0，得m2b0)经过点A(0，1)
10、，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，求证：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.21(12分)(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B
11、(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.解析(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为yx1或yx1.(2)当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20.由得ky22y4k0，可知y1y2，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBN.将x12，x22及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)0.所以kBMkBN
12、0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.22(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足 .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x3上，且1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)，由得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22.(2)证明由题意知F(1，0)，设Q(3，t)，P(m，n)，则(3，t)，(1m，n)，33mtn，(m，n)，(3m，tn)由1得3mm2tnn21，又由(1)知m2n22，故33mtn0.所以0，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.