1、互动课堂疏导引导1.综合法也是中学数学证明中常用的一种方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法(与分析法恰恰相反),即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列的中间推理,最后导出所要求证的命题结论的真实性. 简言之,综合法是一种由因索果的证明方法,其逻辑依据也是三段论式的演绎推理方法. 应用综合法时,应从命题的前提出发,在选定了真实性是无可争辩的出发点以后(它基于题设或已知的真命题),再依次由它得出一系列的命题(或判断),其中每一个都是真实的(但它们并不一定都是所需求的),且最后一个必须包含我们要证明的命题的结论时,命题得证.同分析法一样,并非一上来就能找出通
2、达命题结论的思路,只是在将证明的过程中对每步结论进行分析、推敲、比较、选择后才能得到.当然,在较多地积累一些经验,掌握一些证法之后,可较为顺利地得到证明的思路.而在证明的叙述时,直接叙述这条思路就够了. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证的结论,则综合法可表示如下:PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ.案例1 如图,在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA底面ABCD，求证:PCBD.证明:(综合法) 因为PA是平面ABCD的垂线，PC是平面ABCD的斜线, 连结AC、BD，则AC是PC在底面ABCD内的射影. 又因为四边形ABCD为正方形.ACBD. 故PCBD.【规律
3、总结】本例图形具有很多性质，从不同的审视角度去分析，可以得到多个证明方法，如可以转化为线面垂直来证线线垂直，也可以用向量来证明(因为图形中有AB、AD、AP两两垂直的基向量)等等. 一般地，对于命题“若A则D”用综合法证明时，思考过程可表示为 综合法的思考过程是由因导果的顺序，是从A推演达到D的途径，但由A推演出的中间结论未必唯一，如B、B1、B2等，可由B、B1、B2能推演出的进一步的中间结论则可能更多，如C、C1、C2、C3、C4等等.最终，能有一个(或多个)可推演出结论D即可.2.分析法是数学中常用到的一种直接证明方法,就证明程序来讲,它是一种从未知到已知(从结论到题设)的逻辑推理方法.
4、具体说,即先假设所要求证明命题的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的必要的判断.而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证(应该强调的一点是它不由命题的结论去证明前提). 用分析法证“若P则Q”这个命题的模式是： 为了证明命题Q为真， 这只需证明命题P1为真，从而有 这只需证明命题P2为真，从而有 这只需证明命题P为真. 而已知P为真，故Q必真. 可见分析是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法. 因此,分析法是一种执果索因的证明方法,这种证明方法的逻辑依据是三段论式的演绎推理方法. 一般来讲,分析
5、法有两种证明途径:(1)由命题结论出发,找结论成立的充分条件,逐步推演下去;(2)由命题结论出发,找结论成立的必要条件,逐步推演下去. 应该指出,应用分析法时,并非一开始就确信由结论出发所产生的那些推断(或命题)都正确,各个推理步骤及依次考虑的概念、定理、法则等都合适.这种推理方法仅仅是建立与需要证明的命题的等效关系,因而需要从这些关系中逐个考察,逐个思索,逐个分析,逐个判断,在得到了所需的确定结论时(它们是已证的命题或已知的条件),才知道前面各步推理的适当与否,从而找出证明的路子. 当证题不知从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别是对于条件简单而结论复杂的题目,往往更是行之有效.另外
6、对于恒等式的证明,也同样可以运用.案例2 已知x0，y0，求证：.【探究】本题若直接用综合法，则不易发现与已知不等式的关系，因而可试用分析法.【证明】要证明 只需证：(x2+y2)3(x3+y3)2， 即证：x3+3x4y2+3x2y4+y6x6+2x3y3+y6， 即证：3x4y2+3x2y42x3y3.x0,y0,x2y20, 即证：3x2+3y22xy,3x2+3y2x2+y22xy,3x2+3y22xy成立，【规律总结】用分析法思考数学问题的顺序可表示为：(对于命题“若A则D”) 分析法的思考顺序是执果索因的顺序，是从D上溯寻其论据，如C、C1、C2等，再寻求C、C1、C2的论据，如B
7、、B1、B2、B3、B4等等，继而寻求B、B1、B2、B3、B4的论据，如果其中之一B的论据恰为已知条件，于是命题已经得证. 用分析法与综合法来叙述证明，语气之间也应当有区别.在综合法中，每个推理都必须是正确的，每个论断都应当是前面一个论断的必然结果，因此所用语气必须是肯定的.而在分析法中，就应当用假定的语气，习惯上常用这样一类语句：假如要A成立，就需先有B成立；如要有B成立，又只需有C成立这样从结论一直推到已知条件.当我们应用分析法时，所有各个中间的辅助命题，仅仅考虑到它们都是同所要证明的命题是等效的，而并不是确信它们都是真实的，直至达到最后已知条件或明显成立的事实后，我们才确信它是真实的，
8、从而可以推知前面所有与之等效的命题也都是真实的，于是命题就被证明了. 用分析法证题，是寻求不等式成立的充分条件而不是必要条件，分析过程没有必要“步步可逆”.3.分析法与综合法的关系(1)分析法是“执果索因”，步步寻求上一步成立的充分条件，它与综合法是对立统一的两种方法.应注意“以上每一步都可逆”，并说出可逆的根据.(2)综合法与分析法是两种不同的逻辑方法，但它们又是互相联系、互相转化的.一方面，人们认识事物总是先把事物分解为各个组成部分或因素，通过分别考察去认识它们各自的属性和在整体中的地位，然后再把各个部分的属性联结起来，从而认识事物的整体性质与规律.因此，人们认识事物的过程就是分析与综合相
9、互结合的过程.另一方面，分析是综合的基础，综合是分析的自然发展，对于较复杂的研究对象，人们常常先进行分析，后进行综合，然后在综合的指导下再进行分析，在分析的基础上再进行综合.因此，分析不断转化为综合.综合又转化为更高层次的分析，它们的这种相互交替与螺旋上升是解决数学问题行之有效的方法和策略.案例3 ABC的三个内角A、B、C成等差数列. 求证：(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1【探究】分析法：结论是关于ABC三边的等式. 要证(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1， 即证：，=3，=1， 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)，需证c2+a2=a
10、c+b2. 猜想可能用余弦定理. 综合法：题目的条件是关于ABC三内角的.ABC三内角A、B、C成等差数列，B=60. 由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60， 即b2=c2+a2-ac,c2+a2=ac+b2， 此式即分析中欲证之等式.证明：ABC三内角A、B、C成等差数列，B=60. 由余弦定理，有b2=c2+a2-2cacos60， 得c2+a=ac+b2， 两边加ab+bc得c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)， 两边除以(a+b)(b+c)得=1，=3，即，(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1.【规律总结】综合法和分析法各有优缺点.从寻求解题思路
11、来看，综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效；分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功.就表达证明过程而论，综合法形式简洁，条理清晰；分析法叙述繁琐，文辞冗长.也就是说分析法利于思考，综合法宜于表达.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解答或证明过程.有时要把分析和综合结合起来交替使用，才能成功.活学巧用1.如图所示，S为ABC平面外一点，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求证：ABBC.证明：做AESB于E平面SAB平面SBC，平面SAB 平面SBC=SB，AE平面SBC，AEBC.SA平面ABC，又SAAE=A，SA
12、BC，BC平面SAB.ABBC.2.设a0,b0,a+b=1. 求证：(1)；(2).证明:(1)a0,b0.a+b=1.1=.,.=24=8(2)，则()2=.3.求证：证明：要证明， 只需证明(1+tanA-secA)(1+tanA+secA)=(secA+tanA-1)secA-(tanA-1) 即证(1+tanA)2-sec2A=sec2A-(tanA-1)2， 即证1+tan2A=sec2A 所以，只需证明, 即证, 只需证明sin2A+cos2A=1，显然成立， 所以成立.4.已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1. 求证：logx+logx+logxlogxa+logxb+lo
13、gxc.证明:要证明logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc, 只需要证明logxlogx(abc). 由已知0x1, 只需证明abc. 由公式知0,0, 0.a、b、c不全相等，上面三式相乘，=abc, 即abc成立,logx+logx+logxlogxa+logxb+logxc成立.5.已知a0，求证-a+-2.证明：要证-a+-， 只要证+2a+.a0，只要证(+2)2(a+)2， 即+4+4(a2+2+(a+)+2， 从而只要证2(a+)， 只要证42(a2+2+)， 即2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.6.在某两个正数x,y之间，若插入一个数a，使x、a
14、、y成等差数列，若插入两个数b,c，使x、b、c、y成等比数列. 求证：(a+1)2(b+1)(c+1).证明：由条件，得消去x、y即得2a=且有a0,b0,c0 要证(a+1)2(b+1)(c+1) 只要证a+1 即证a+1 也就是证2ab+c而2a= 只要证b+cb3+c3=(b+c)(b2+c2-bc)(b+c)bc 即证b2+c2-bcbc即证(b-c)20上式显然成立，(a+1)2(b+1)(c+1)7.在ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：ABC为等边三角形.证明：由A、B、C成等差数列，有2B=A+C. 因为A
15、、B、C为ABC的内角， 所以A+B+C=. 由，得B=. 由a、b、c成等比数例，有b2=ac. 由余弦定理及，可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac. 再由，得a2+c2-ac=ac. 即(a-c)2=0， 因此a=c. 从而有A=C. 由，得A=B=C=. 所以ABC为等边三角形.8.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴，证明直线AC经过原点O.解析：本题应先画出图形，将文字语言转换成符号语言及图形语言，借助图形的直观，帮助分析思路方法，可用综合法的形式进行表述.证明：抛物线方程为y2=2px(p0)
16、，焦点为F(，0)，所以过点F的直线AB的方程为x=my+代入抛物线方程得：y2-2pmy-p2=0，若记A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是该方程的两个根.所以y1y2=-p2.因为BCx轴，且点C在准线x=-上，所以点C的坐标为(-,y2)，故直线CO的斜率为k=即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O.9.已知：如图，b且b.求证：b.证明：设=m,在内作直线cm.b与c重合或bc.矛盾，于是，b与c不重合.b.10.已知：a2+b2=1,x2+y2=1,求证：ax+by1.证明:方法一：用综合法2axa2+x2,2byb2+y22(ax+by)a2+b2+x2+y2
17、又a2+b2=1，x2+y2=12(ax+by)2，ax+by1方法二：用分析法 要证ax+by1成立，只要证1-(ax+by)0 只要证：2-2ax-2by0， 又a2+b2=1 x2+y2=1 只要证:a2+b2+x2+y2-2ax-2by0 即证：(a-x)2+(b-y)20显然成立ax+by1成立.11.如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F，求证：AFSC.证明：要证AFSC， 只需证SC平面AEF， 只需证AESC(因为EFSC)， 只需证AE平面SBC， 只需证AEBC(因为AESB)， 只需证BC平面SAB， 只需证BCSA(因为ABBC)， 由SA平面ABC可知，上式成立. 所以AFSC.
