1、通州区20222023学年高三年级摸底考试数学试卷2023年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 等差数列中，则通项为（ ）A. B. C. D. 3. 抛物线焦点坐标为（ ）A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，则等于（ ）A. B. 13C. D. 295. 设为正整数，的展开式中存在常数项，则的最小值为（ ）A. 2B.
2、3C. 4D. 56. 中，若，则等于（ ）A. B. C. D. 7. “”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知半径为1圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 49. 要制作一个容积为的圆柱形封闭容器，要使所用材料最省，则圆柱的高和底面半径应分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，10. 设点是曲线上任意一点，则点到原点距离的最大值、最小值分别为（ ）A. 最大值，最小值B. 最大值，最小值1C. 最大值2，最小值D. 最大值2，最小值1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题
3、共5小题，每小题5分，共25分.11. 复数的共轭复数_.12. 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60，则C的离心率为_.13. 已知函数，若函数存在最大值，则的取值范围为_.14. 齐王与田忌赛马，田忌上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹，分3组各进行一场比赛，胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序，则田忌获胜的概率为_；若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组，则田忌获胜的概率为_.15. 已知数列的前项和为，为数列的前项积，满足，给出下列四个结论：；为等差数列；.其
4、中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）把的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向右平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调递增区间.17. 如图，在四棱雉中，底面为矩形，平面平面，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）再从条件，条件两个中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.18. 为了解两个购物平台买家的满意度，某研究性学习小组采用随机抽样的方法，获得A平台问卷100份，B平台问卷
5、80份.问卷中，对平台的满意度等级为：好评、中评、差评，对应分数分别为：5分、3分、1分，全科免费下载公众号高中僧课堂数据统计如下：好评中评差评A平台75205B平台6488假设用频率估计概率，且买家对平台的满意度评价相互独立.（1）估计买家对A平台的评价不是差评的概率；（2）从所有在A平台购物的买家中随机抽取2人，从所有在B平台购物的买家中随机抽取2人，估计这4人中恰有2人给出好评的概率；（3）根据上述数据，你若购物，选择哪个平台？说明理由.19. 已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上不同于的一点，直线，与直线分别交于点.试判断以为直径的圆是否过定点
6、，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.20. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）当函数存在极小值时，求证：函数的极小值一定小于0.21. 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.（1）当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；（2）当时，若构成等比数列，求正整数；（3）记，求证：.通州区20222023学年高三年级摸底考试数学试卷2023年1月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试
7、结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】C【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】#【12题答案】【答案】2【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】 . . #0.5【15题答案】【答案】三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）. （2），.【17题答案】【答案】（1）证明见解析 （2）【18题答案】【答案】（1） （2） （3）选择A平台，理由见解析【19题答案】【答案】（1） （2）以为直径的圆过定点，.【20题答案】【答案】（1） （2）答案见解析 （3）证明见解析【21题答案】【答案】（1）8. （2）. （3）证明见解析.
