1、23.2抛物线的简单几何性质内容标准学科素养1.掌握抛物线的简单几何性质2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题3.掌握直线与抛物线的位置关系.利用直观想象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第42页基础认识知识点一抛物线的几何性质类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？提示：范围、对称性、顶点、离心率等 知识梳理抛物线的几何性质设图形中的P1(x1，y1)，P2(x2，y2).标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴x轴y轴y轴焦半径|P1F|x1|P1F|x1|P1F|
2、y1|P1F|y1焦点弦|P1P2|p(x1x2)|P1P2|p(x1x2)|P1P2|p(y1y2)P1P2p(y1y2)顶点(0,0)离心率e1知识点二直线与抛物线的位置关系知识梳理直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x22(kbp)xb20解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有2个不同的公共点；若0，直线与抛物线有1个公共点；若0)上的一点，则下列点一定在抛物线上的是()A(a，b) B(a，b)C(a，b) D(b，a)答案：B3直线y2x1与抛物线x2y的位置关系是()A相切 B相交C相离 D不确定答案：C授课提示：对应学生用
3、书第43页探究一抛物线几何性质的应用阅读教材P60例3已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2，2)，求它的标准方程题型：利用抛物线的几何性质，求其标准方程方法步骤：根据条件设出抛物线的标准方程将点M代入标准方程，求出p的值写出抛物线的标准方程例1(1)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则抛物线的焦点坐标为()A(2,0)B(1,0)C(8,0) D(4,0)解析因为2，所以4，于是b23a2，则，故双曲线的两条渐近线方程为yx.而抛物线y22px(p0)的准线方程为
4、x，所以A，B，则ABp，又三角形的高为，则SAOBp，即p24.因为p0，所以p2，故抛物线焦点坐标为(1,0)答案B(2)已知双曲线方程是1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物线的准线方程解析因为双曲线1的右顶点坐标为(2，0)，所以2，且抛物线的焦点在x轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y28x，其准线方程为x2.方法技巧1.注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称2解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离
5、之间的转化，简化解题过程跟踪探究1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M(1，2)求抛物线的标准方程和准线方程解析：(1)当抛物线的焦点在x轴上时，设其标准方程为y2mx(m0)将点M(1，2)代入，得m4.抛物线的标准方程为y24x；(2)当抛物线的焦点在y轴上时，设其标准方程为x2ny(n0)将点M(1，2)代入，得n.抛物线的标准方程为x2y.故所求的抛物线的标准方程为y24x或x2y.准线方程为x1或y.探究二焦点弦问题阅读教材P61例4斜率为1的直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长题型：焦点弦的计算方法步骤：写出抛物线的焦点坐
6、标，从而由点斜式求出直线l的方程直线与抛物线联立方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，设而不求及根与系数的关系由焦点弦公式|AB|px1x2，求出弦AB的长例2已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在的直线方程解析由题意知焦点F，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2p0，即k1，且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与C相交；当0，即k1时，l与C有一个公共点，此时直线l与C相切；当1时，l与C没有公共点，此时直线l与C相离综上所述，当k1或0时，l与C有一个公共点；当k1时，l与C没有公共点答案(
7、1)B(2)见解析方法技巧设直线l：ykxb，抛物线：y22px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k2x2(2kb2p)xb20.(1)若k20，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合(2)若k20，当0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2BxC0(或Ay2ByC0)相交：a.有两个交点：b有一个交点：A0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不
8、充分条件素养培优1定点问题已知抛物线y28x的顶点为O，点A，B在抛物线上，且OAOB，求证：直线AB经过一个定点证明：设直线OA的斜率为k，则直线OB的斜率为，则直线OA的方程为ykx，由得A，同理可得B(8k2,8k)，于是直线AB的方程为y8k(x8k2)，整理可得y(x8)，因此直线AB经过定点(8,0)方法技巧定点问题的常见解法(1)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意(2)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点2定值问题如图所示，过抛物线y2x上一点A(4,2)作倾
9、斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值证明：设直线AB的斜率为k(k0)因为直线AB，AC的倾斜角互补，所以直线AC的斜率为k(k0)又直线AB的方程是yk(x4)2.由方程组消去y整理得，k2x2(8k24k1)x16k216k40.因为A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，所以4xB，得xB，以k代替xB中的k，得xC，所以kBC，故直线BC的斜率为定值方法技巧求定值问题常见的方法解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决其证明过程可总结为“变量函数定值”，具体操作程序如下：变量选择适当的量作为变量；函数把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；定值把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值