1、第1节变化率与导数、导数的计算最新考纲1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图像直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数yc(c为常数)，yx，y，yx2，yx3，y的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作(2)几何意义：函数f(x
2、)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0).2.函数yf(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.3.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(是实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0)f(x)axln_af(x)ln xf(x)f
3、(x)logax(a0，a1)f(x)4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0).5.复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.微点提醒1.f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的
4、方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.答案(1)(2)(3)(4
5、)2.(选修22P35例5改编)曲线yx311在点P(1，12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A.9 B.3 C.9 D.15解析因为yx311，所以y3x2，所以y|x13，所以曲线yx311在点P(1，12)处的切线方程为y123(x1).令x0，得y9.答案C3.(选修22P25问题1改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案9.8t6.59.84.(2019榆林质检)已知函数f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 0
6、19，则x0等于()A.e2 B.1 C.ln 2 D.e解析f(x)2 018ln xx2 019ln x.由f(x0)2 019，得2 019ln x02 019，则ln x00，解得x01.答案B5.(2018天津卷)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_.解析由题意得f(x)exln xex，则f(1)e.答案e6.(2017全国卷)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_.解析设yf(x)，则f(x)2x，所以f(1)211，所以在(1，2)处的切线方程为y21(x1)，即yx1.答案yx1考点一导数的运算多维探究角度1根据求导法则求函数的导数【
7、例11】 分别求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)f(x)ln .解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xex.(2)因为yx31，所以y3x2.(3)因为yln ln，所以y(12x).角度2抽象函数的导数计算【例12】 (2019南昌联考)已知函数f(x)的导函数是f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln ，则f(1)()A.e B.2 C.2 D.e解析由已知得f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，解得f(1)1，则f(1)2f(1)2.答案B规律方法1.求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.
8、复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.3.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.【训练1】 (1)若yxcos sin ，则y_.(2)已知f(x)x22xf(1)，则f(0)_.解析(1)因为yxsin x，所以yx1cos x.(2)f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.答案(1)1cos x(2)4考点二导数的几何意义多维探究角度1求切线方程【例21】 (2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2x B.yxC.y2x D.y
9、x解析因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x，所以f(x)3x21，所以f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.答案D角度2求切点坐标【例22】 (1)(2019郑州月考)已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()A.3 B.2C.1 D.(2)设曲线yex在点(0，1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_.解析(1)设切点的横坐标为x0(x00)，曲线y3ln x的一条切线的斜率为，y，即，解得x03或x02(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)函数yex的导函数为yex，
10、曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设P(x0，y0)(x00)，函数y的导函数为y，曲线y(x0)在点P处的切线的斜率k2，由题意知k1k21，即11，解得x1，又x00，x01.又点P在曲线y(x0)上，y01，故点P的坐标为(1，1).答案(1)A(2)(1，1)角度3求参数的值或取值范围【例23】 (1)函数f(x)ln xax的图像存在与直线2xy0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(，2 B.(，2) C.(2，) D.(0，)(2)(2019东北三省四校联考)已知曲线f(x)xb(x0)在点(1，f(1)处的切线方程为y2x5，则ab_.解析(1)由题意知f(
11、x)2在(0，)上有解.f(x)a2在(0，)上有解，则a2.因为x0，所以22，所以a的取值范围是(，2).(2)f(x)1，f(1)1a，又f(1)1ab，曲线在(1，f(1)处的切线方程为y(1ab)(1a)(x1)，即y(1a)x2ab，根据题意有解得ab178.答案(1)B(2)8规律方法1.求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解.2.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参
12、数：切点处的导数是切线的斜率；切点在切线上；切点在曲线上.【训练2】 (1)(2018东莞二调)设函数f(x)x3ax2，若曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为xy0，则点P的坐标为()A.(0，0) B.(1，1)C.(1，1) D.(1，1)或(1，1)(2)(2018全国卷)曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为_.解析(1)由f(x)x3ax2，得f(x)3x22ax.根据题意可得f(x0)1，f(x0)x0，可列方程组解得或当x01时，f(x0)1，当x01时，f(x0)1.点P的坐标为(1，1)或(1，1).(2)由题意得y.在点(0，0)处切线斜率ky|
13、x02.曲线y2ln(x1)在点(0，0)处的切线方程为y02(x0)，即y2x.答案(1)D(2)y2x思维升华1.对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误.对于复合函数求导，关键在于分清复合关系，适当选取中间变量，然后“由外及内”逐层求导.2.求曲线的切线方程要注意分清已知点是否是切点.若已知点是切点，则可通过点斜式直接写方程，若已知点不是切点，则需设出切点.3.处理与切线有关的参数问题时，一般利用曲线、切线、切点的三个关系列方程求解.易错防范1.求
14、导常见易错点：公式(xn)nxn1与(ax)axln a相互混淆；公式中“”“”号记混，如出现如下错误：，(cos x)sin x；复合函数求导分不清内、外层函数.2.求切线方程时，把“过点切线”问题误认为“在点切线”问题.基础巩固题组(建议用时：35分钟)一、选择题1.下列求导数的运算中错误的是()A.(3x)3xln 3 B.(x2ln x)2xln xxC. D.(sin xcos x)cos 2x解析因为，C项错误.答案C2.(2018日照质检)已知f(x)xln x，若f(x0)2，则x0等于()A.e2 B.e C. D.ln 2解析f(x)的定义域为(0，)，f(x)ln x1，
15、由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案B3.函数yx3的图像在原点处的切线方程为()A.yx B.x0C.y0 D.不存在解析函数yx3的导数为y3x2，则在原点处的切线斜率为0，所以在原点处的切线方程为y00(x0)，即y0.答案C4.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零的时刻是()A.1秒末 B.1秒末和2秒末C.4秒末 D.2秒末和4秒末解析s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，令s(t)0，得t2或4，即2秒末和4秒末的速度为零.答案D5.(2019合肥一模)函数f(x)xg(x)的图像在点x2处的切线方程是yx1，则g(2
16、)g(2)()A.7 B.4 C.0 D.4解析f(x)xg(x)，f(x)1g(x)，又由题意知f(2)3，f(2)1，g(2)g(2)2f(2)1f(2)7.答案A6.已知e为自然对数的底数，曲线yaexx在点(1，ae1)处的切线与直线2exy10平行，则实数a()A. B. C. D.解析yaex1，在点(1，ae1)处的切线的斜率为y|x1ae1，又切线与直线2exy10平行，ae12e，解得a.答案B7.如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是()解析由yf(x)的图像知，yf(x)在(0，)上是单调递减的，说明函数yf(x)的切线
17、的斜率在(0，)上也是单调递减的，故可排除A，C；又由图像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.答案D8.(2019咸阳调研)已知直线ykx2与曲线yxln x相切，则实数k的值为()A.ln 2 B.1C.1ln 2 D.1ln 2解析由yxln x得yln x1，设切点为(x0，y0)，则kln x01，切点(x0，y0)(x00)既在曲线yxln x上又在直线ykx2上，kx02x0ln x0，kln x0，则ln x0ln x01，x02，kln 21.答案D二、填空题9.已知曲线f(x)2x21在
18、点M(x0，f(x0)处的瞬时变化率为8，则点M的坐标为_.解析由题意得f(x)4x，令4x08，则x02，f(x0)9，点M的坐标是(2，9).答案(2，9)10.已知aR，设函数f(x)axln x的图像在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_.解析f(1)a，切点为(1，a).f(x)a，则切线的斜率为f(1)a1，切线方程为：ya(a1)(x1)，令x0得出y1，故l在y轴上的截距为1.答案111.已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(2)_.解析因为f(x)x23xf(2)ln x，所以f(x)2x3f(2)，所以f(2
19、)43f(2)3f(2)，所以f(2).答案12.已知函数yf(x)的图像在点(2，f(2)处的切线方程为y2x1，则曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为_.解析由题意，知f(2)2213，g(2)437，g(x)2xf(x)，f(2)2，g(2)2226，曲线g(x)x2f(x)在点(2，g(2)处的切线方程为y76(x2)，即6xy50.答案6xy50能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(2018深圳二模)设函数f(x)xb，若曲线yf(x)在点(a，f(a)处的切线经过坐标原点，则ab()A.1 B.0 C.1 D.2解析由题意可得，f(a)ab，f(x)1，所以
20、f(a)1，故切线方程是yab(xa)，将(0，0)代入得ab(a)，故b，故ab2.答案D14.(2019西安一模)定义1：若函数f(x)在区间D上可导，即f(x)存在，且导函数f(x)在区间D上也可导，则称函数f(x)在区间D上存在二阶导数，记作f(x)f(x).定义2：若函数f(x)在区间D上的二阶导数恒为正，即f(x)0恒成立，则称函数f(x)在区间D上为凹函数.已知函数f(x)x3x21在区间D上为凹函数，则x的取值范围是_.解析因为f(x)x3x21，因为f(x)3x23x，f(x)6x3，令f(x)0，解得x，故x的取值范围是.答案15.函数g(x)ln x图像上一点P到直线yx的最短距离为_.解析设点(x0，ln x0)是曲线g(x)ln x的切线中与直线yx平行的直线的切点，因为g(x)(ln x)，则1，x01，则切点坐标为(1，0)，最短距离为(1，0)到直线yx的距离，即为.答案16.若函数f(x)x2axln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_.解析f(x)x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa.f(x)存在垂直于y轴的切线，f(x)存在零点，即xa0有解，ax2(当且仅当x1时取等号).答案2，)
