1、2.3双曲线2.3.1双曲线的标准方程1了解双曲线的定义及焦距的概念2了解双曲线的几何图形、标准方程(重点)3能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程(重点)基础初探教材整理1双曲线的定义阅读教材P49前3自然段，完成下列问题平面内与两个定点F1，F2的距离的_等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线这_叫做双曲线的焦点，_叫做双曲线的焦距【答案】差的绝对值两个定点两焦点的距离判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)在双曲线标准方程中，a，b，c之间的关系同椭圆中a，b，c之间的关系相同()(2)点A(1,0)，B(1,0)，若|AC|BC|2，则点C的轨迹是双曲线
2、()(3)在双曲线标准方程1中，a0，b0，且ab.()【答案】(1)(2)(3)教材整理2双曲线的标准方程阅读教材P49第4自然段P50“思考与讨论”，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦点F1_，F2_F1_，F2_a，b，c的关系c2_【答案】11(c,0)(c,0)(0，c)(0，c)a2b2若方程1表示双曲线，则实数m满足()Am1且m3Bm1Cm或m D3m1【解析】因为方程1表示双曲线，而m210恒成立，所以m230，解得m或m，故选C.【答案】C质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：
3、_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型双曲线定义的应用已知双曲线的方程是1，点P在双曲线上，且到其中一个焦点F1的距离为10，点N是PF1的中点，求|ON|的大小(O为坐标原点)【精彩点拨】利用中位线定理，结合双曲线定义解题【自主解答】因为ON是PF1F2的中位线，所以|ON|PF2|.因为|PF1|PF2|8，|PF1|10，所以|PF2|2或|PF2|18，故|ON|1或|ON|9.在双曲线的定义中，注意三个关键点：在平面内；差的绝对值；定值且定值小于两定点间距在这三个条件中，缺少一个条件，其动点轨迹也不是双曲线再练一题1已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，
4、若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_. 【导学号：15460034】【解析】由双曲线的方程可知a1，c，|PF1|PF2|2a2，|PF1|22|PF1|PF2|PF2|24，PF1PF2，|PF1|2|PF2|2(2c)28，2|PF1|PF2|4，(|PF1|PF2|)28412，|PF1|PF2|2.【答案】2求双曲线的标准方程根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)过点P，Q且焦点在坐标轴上；(2)c，经过点(5,2)，焦点在x轴上【精彩点拨】(1)所求双曲线的焦点位置不确定，怎样求解？(2)已知半焦距时，如何设双曲线的标准方程？【自主解答】(1)设双曲线方程为1(mn0)P，Q
5、两点在双曲线上，解得所求双曲线的方程为1.(2)焦点在x轴上，c，设所求双曲线的方程为1(06)双曲线过点(5,2)，1，解得5或30(舍去)，所求双曲线的方程为y21.1求双曲线标准方程的步骤(1)确定双曲线的类型，并设出标准方程；(2)求出a2，b2的值2当双曲线的焦点所在坐标轴不确定时，需分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，特别地，当已知双曲线经过两个点时，可设双曲线方程为Ax2By21(AB50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分如图所示，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系设所求双曲线的标准方程为1(a0，b0)因为a25，c25，所以b2
6、c2a23 750.故双曲线的标准方程为1.注意到点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x35.故界线的曲线方程为1(25x35,0y60)利用双曲线解决实际问题的基本步骤1建立适当的坐标系2求出双曲线的标准方程3根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题注意：(1)解答与双曲线有关的应用问题时，除要准确把握题意，了解一些实际问题的相关概念，同时还要注意双曲线的定义及性质的灵活应用(2)实际应用问题要注意其实际意义以及在该意义下隐藏着的变量范围再练一题3.如图232，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A地的距离比到
7、B地的距离远2 km.现要在河岸PQ上选一处M建码头，向B，C两地转运货物经测算，修建公路的费用是a万元/km，求修建这两条公路的总费用最低是多少图232【解】以AB所在的直线为x轴，AB的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)根据题意，得C(3，)因为|MA|MB|2|AB|，所以点M的轨迹是双曲线x21的右支总费用为a|MB|a|MC|a(|MB|MC|)因为|MB|MC|MA|2|MC|AC|222，当M，A，C三点共线时，等号成立，所以总费用最低为(22)a万元构建体系1已知m，nR，则“mn0”是“方程1表示双曲线”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条
8、件【解析】方程1表示双曲线，必有mn0；当mn0时，方程1表示双曲线所以“mn0”是“方程1表示双曲线”的充要条件【答案】C2以椭圆1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线的方程是()A.y21 By21C.1 D1【解析】椭圆1的焦点为F1(0,1)，F2(0，1)，长轴的端点A1(0,2)，A2(0，2)，所以对于所求双曲线a1，c2，b23，焦点在y轴上，双曲线的方程为y21.【答案】B3设m是常数，若点F(0,5)是双曲线1的一个焦点，则m_. 【导学号：15460035】【解析】由点F(0,5)可知该双曲线1的焦点落在y轴上，所以m0，且m952，解得m16.【答案】16
9、4若点P到点(0，3)与到点(0,3)的距离之差为2，则点P的轨迹方程为_【解析】由题意并结合双曲线的定义，可知点P的轨迹方程为双曲线的上支，且c3,2a2，则a1，b2918，所以点P的轨迹方程为y21(y1)【答案】y21(y1)5求满足下列条件的双曲线的标准方程(1)已知双曲线的焦点在y轴上，并且双曲线过点(3，4)和；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)【解】(1)由已知，可设所求双曲线方程为1(a0，b0)，则解得所以双曲线的方程为1.(2)设双曲线方程为1(a0，b0)由题意知c2.因为双曲线过点(3，2)，所以1.又因为a2b2(2)2，所以a212，b28.故所求双曲线
10、的方程为1.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1方程1表示双曲线，则m的取值范围为()A2m2Bm0Cm0 D|m|2【解析】已知方程表示双曲线，(2m)(2m)0.2m2.【答案】A2设动点P到A(5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是()A.1 B1C.1(x3) D1(x3)【解析】由题意知，轨迹应为以A(5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支由c5，a3，知b216，P点的轨迹方程为1(x3)【答案】D3已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(，0)，
11、点P在双曲线上，且PF1PF2，PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为()A.1 B1C.y21 Dx21【解析】由(|PF1|PF2|)216，即2a4，解得a2，又c，所以b1，故选C.【答案】C4已知椭圆方程1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为()A. BC2 D3【解析】椭圆的焦点为(1,0)，顶点为(2,0)，即双曲线中a1，c2，所以双曲线的离心率为e2.【答案】C5若k1，则关于x，y的方程(1k)x2y2k21所表示的曲线是()A焦点在x轴上的椭圆B焦点在y轴上的椭圆C焦点在y轴上的双曲线D焦点在x轴上的双曲线【解析】原方程化为标准方程为1，k1，
12、1k0，k210，此曲线表示焦点在y轴上的双曲线【答案】C二、填空题6设点P是双曲线1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|10，则|PF2|_.【解析】由双曲线的标准方程得a3，b4.于是c5.(1)若点P在双曲线的左支上，则|PF2|PF1|2a6，|PF2|6|PF1|16；(2)若点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|6，|PF2|PF1|61064.综上，|PF2|16或4.【答案】16或47已知F1(3,0)，F2(3,0)，满足条件|PF1|PF2|2m1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的_(填序号) 【导学号：15460036】2；1；4；
13、3.【解析】设双曲线的方程为1，则c3，2a2c6，|2m1|6，且|2m1|0，m0，b0)又两曲线有相同的焦点，a2b2c2426.又点P(2,1)在双曲线1上，1.由联立得a2b23，故所求双曲线方程为1.10已知方程kx2y24，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型【解】(1)当k0时，y2，表示两条与x轴平行的直线；(2)当k1时，方程为x2y24，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k0时，方程为1，表示焦点在y轴上的双曲线；(4)当0k1时，方程为1，表示焦点在x轴上的椭圆；(5)当k1时，方程为1，表示焦点在y轴上的椭圆能力提升1椭圆1与双曲线1有相同
14、的焦点，则a的值为() 【导学号：15460037】A1BC2D3【解析】由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且a0.4a2a2，a2a20，a1或a2(舍去)故选A.【答案】A2已知F1，F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在双曲线C上，F1PF260，则|PF1|PF2|等于()A2 B4 C6 D8【解析】不妨设P是双曲线右支上一点，在双曲线x2y21中，a1，b1，c，则|PF1|PF2|2a2，|F1F2|2，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，8|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|，8(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|
15、，84|PF1|PF2|，|PF1|PF2|4.故选B.【答案】B3已知双曲线1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2y216相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|MO|_.【解析】设F是双曲线的右焦点，连接PF(图略)，因为M，O分别是FP，FF的中点，所以|MO|PF|，又|FN|5，由双曲线的定义知|PF|PF|8，故|MN|MO|MF|FN|PF|(|PF|PF|)|FN|851.【答案】14已知双曲线1的两焦点为F1，F2.(1)若点M在双曲线上，且0，求点M到x轴的距离；(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程【解】(1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，0，则MF1MF2，设|MF1|m，|MF2|n，由双曲线定义知，mn2a8，又m2n2(2c)280，由得mn8，mn4|F1F2|h，h.(2)设所求双曲线C的方程为1(416)，由于双曲线C过点(3，2)，所以1，解得4或14(舍去)所求双曲线C的方程为1.
