1、今天我们研究椭圆中的定点问题。椭圆中的定点问题往往与椭圆中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。先看例题：例：设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 解：设，直线的方程为. 将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得 . 所以 ，. 若平分，则直线，的倾斜角互补，所以. 设，则有 .将 ，代入上式，整理得 ，所
2、以 . 将 ，代入上式，整理得 . 由于上式对任意实数都成立，所以 .综上，存在定点，使平分.整理：处理定点问题的方法：（1）常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；（2）也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。再看一个例题，加深印象 例：已知椭圆的左顶点为A.过点A作两条斜率分别为k1,k2的直线交椭圆于B,C两点, 且k1k2 =2,求证: 直线BC恒过一个定点. 解：根据椭圆方程有左顶点A(1,0),设,由,消去y,得,解得x=1或,点 同理,有,而, 直线BC的方程为,即,整理为： 所以,BC过定点，等价于方程中取值与k1无关，则有,得直线BC恒过定点总结：1
3、.椭圆中的定点问题往往与椭圆中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 2.证明直线过定点，一般是先选择一个参数建立直线系方程，然后再根据直线系方程过定点时，方程的成立与参数没有关系，得到一个关于x，y的方程组，以这个方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点。练习：1.已知椭圆C:过点,离心率为.过椭圆右顶点A的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆C于M,N两点.()求椭圆C的标准方程;()直线MN是否过定点D?若过定点D,求出点D的坐标;若不过,请说明理由2.如图,椭圆E: 的离心率是,过点P(0,1)的动直线l与椭圆相交于A,B两点,当直线l平行与x轴时,直线l
4、被椭圆E截得的线段长为.()求椭圆E的方程;()在平面直角坐标系xOy中,是否存在与点P不同的定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.3.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m0,y10,y20.()设动点P满足PF2PB2=4,求点P的轨迹;()设,求点T的坐标;()设t=9,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关).4.如图,椭圆的两焦点，与短轴两端点，构成为,面积为的菱形。 （1）求椭圆的方程； （2）若直线与椭圆相交于、两点(、不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆右顶点求证:直线过定点,并求出该定点的坐标答案：1. 2. 3. 4.解：椭圆的方程为（2）由，即设M，则有因为以为直径的圆过椭圆右顶点，所以，而 代入并整得，化简整理得到均满足判别式大于0，所以，当当
