1、3.3.2简单的线性规划问题内容标准学科素养1.了解线性规划中的基本概念2.会用图解法解决线性规划问题3.能利用线性规划解决实际应用问题.应用直观想象提升数学运算强化数学建模授课提示：对应学生用书第63页基础认识知识点一线性规划的基本概念若x，y满足不等条件，那么当x，y取何值时，z2xy有最大值，有最小值在上述问题中(1)满足的点(x，y)有多少个？提示：无穷多个，构成一个三角形区域(包括边界)(2)求zxy的最大值、最小值，相当于求直线xyz0的什么量？提示：相当于直线xyz0在y轴上的截距的最值 知识梳理名称意义约束条件变量x，y满足的一组条件线性约束条件关于x，y的二元一次不等式目标函
2、数欲求最大值或最小值且涉及变量x，y的解析式线性目标函数目标函数是关于x，y的一次解析式线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解知识点二用图解法解决线性规划问题如何求出x，y的值，使z最大、最小？(1)若将直线2xyz0看作平行直线，进行移动当由下而上移动时，动直线y2xz最先达可行域的哪个点？此时z最大还是最小？提示：(0,1)，z最小为1.(2)最后离开可行域的哪个点？此时z最大还是最小？提示：(1,1)，z最大为3. 知识梳理在确定约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求
3、最优解的步骤为：(1)在平面直角坐标系中画出可行域；(2)将目标函数zaxby(b0)变形为yx，将求z的最值问题转化为求直线yx在y轴上的截距的最值问题；(3)画出直线yx并平行移动，在平移过程中，一般最先或最后经过的点为最优解；(4)求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的最值自我检测1若则zxy的最大值为()A1B1C2 D2答案：B2zxy在的线性约束条件下，取得最大值的可行解为()A(0,1) B(1，1)C(1,0) D.答案：C授课提示：对应学生用书第64页探究一求线性目标函数的最值与范围教材P91练习1(2)求z3x5y的最大值和最小值，使x、y满足约束条件解析：题中约束条
4、件表示的可行域如上图所示，易知直线z3x5y经过点B时，z取得最大值，经过点A时，z取得最小值由和可得点A(2，1)和点B(1.5,2.5)所以zmax17，zmin11.例1(1)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A15B9C1 D9解析根据线性约束条件画出可行域，如图(阴影部分)作出直线l0：y2x.平移直线l0，当经过点A时，目标函数取得最小值由得点A的坐标为(6，3)zmin2(6)(3)15.故选A.答案A(2)已知1xy4且2xy3，求 z2x3y的取值范围解析由得平面区域如图中的阴影部分所示由图得当z2x3y分别过点A，B时取最小值、最大值由得B(1，2)由得A(3,1
5、)2331z2x3y213(2)，即3z8，故z2x3y的取值范围是(3,8)延伸探究1.若本例(1)条件不变，求z2xy的最大值解析：由得B点(6，3)平移直线y2xz过B点时，z最大zmax2639.2若本例(1)条件不变，求zxy1的最大值解析：由得C点(0,1)由zxy1得yxz1知斜率kzxy1过C点时，z有最大值zmax0110.3若本例(1)条件不变，求|2xy|的取值范围解析：设z2xy，当z0时，即直线y2xz过(0,0)时，|z|min0.当y2xz过A(6，3)时zmin15，|z|15.当y2xz过B(6，3)时zmax9，|z|9.综上，|2xy|的范围为0,15方法
6、技巧(1)解线性规划问题的关键是作出可行域，若可行域为封闭区域，则区域的顶点很可能就是目标函数取得最大值或最小值的点，因此我们在解决这些问题时，可以根据这些点快速找到目标函数取得最值时对应的x，y的值，再代入目标函数中即可求得最值(2)求解线性规划问题时，经常需要比较相关直线的斜率的大小，以决定它们的倾斜程度，从而找出最优解，所以要熟悉直线斜率与倾斜角之间的关系(3)线性目标函数的最优解一般在可行域的顶点或边界处取得，当表示线性目标函数表示的直线与可行域的某边重合时，其最优解可能有无数个探究二非线性目标函数的最值范围教材P104第5题已知当x、y取何值时，x2y2取得最大值、最小值？并求其最值
7、探究：由题意可画出不等式组所表示的可行域，如图所示因为x2y2是点(x，y)到原点的距离的平方，所以当即x2，y3时，x2y2最大，且最大值为13.又易知x2y2的最小值为原点到直线BC的距离的平方，为.例2已知实数x，y满足约束条件试求z的最大值和最小值解析作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由于z，故z的几何意义是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率，因此的最值是点(x，y)与点M(1，1)连线的斜率的最值，由图可知，直线MB的斜率最大，直线MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值为3，最小值为.方法技巧非线性目标函数
8、最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果(2)常见代数式的几何意义主要有： 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离；表示点(x，y)与点(a，b)的距离表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键延伸探究4.若本例条件不变，把目标函数改为z，求z的取值范围解析：z，设k表示(x，y)与点M(，)斜率kMB，kMC.zmax7，zmin.z
9、的范围为，75若本例条件不变，求 z的取值范围解析：表示点(x，y)与点M(1，1)的距离zmax|MA|5.由于kMC，故直线MC与边界线2xy20垂直故zmin|MC|.探究三已知目标函数的最值求参数例3若实数x，y满足不等式组目标函数tx2y的最大值为2，则实数a的值是_解析如图，由得代入x2y2中，解得a2.答案2方法技巧含参数的线性目标函数问题的求解策略(1)约束条件中含有参数：此时可行域是可变的，应分情况作出可行域，结合条件求出不同情况下的参数值(2)目标函数中含有参数：此时目标函数对应的直线是可变的，如果斜率一定，则对直线作平移变换；如果斜率可变，则要利用斜率与倾斜角间的大小关系
10、分情况确定最优解的位置，从而求出参数的值跟踪探究1.已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2C2 D3解析：作出可行域如图当a0时，显然zaxy的最大值不为4；当a0时，zy在B(1,1)处取得最大值为1，不符合题意；当0a1时，zaxy在B(1,1)处取得最大值，zmaxa14，故a3，舍去；当a1时，zxy的最大值为2；当a1时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，zmax2a4，得a2，符合题意综上，a2.答案：B探究四简单的线性规划问题的实际应用教材P8890的例5、例6、例7方法步骤：(1)列出约束条件和目标函数(2)利用线性规划求最值、最优解例4某公司仓库A
11、存有货物12吨，仓库B存有货物8吨，现按7吨、8吨和5吨把货物分别调运给甲、乙、丙三个商店从仓库A运货物到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为8元、6元、9元；从仓库B运货到商店甲、乙、丙，每吨货物的运费分别为3元、4元、5元问应如何安排调运方案，才能使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少？解析将已知数据列成下表：商店每吨运费仓库甲乙丙A869B345 设仓库A运给甲、乙商店的货物分别为x吨，y吨，则仓库A运给丙商店的货物为(12xy)吨，从而仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为(7x)吨、(8y)吨、5(12xy)(xy7)吨，于是总运费为z8x6y9(12xy)3(7x)4(8y)5(
12、xy7)x2y126.线性约束条件为即目标函数为zx2y126.作出上述不等式组表示的平面区域，其可行域如图中阴影部分所示作出直线l：x2y0，把直线l平行移动，显然当直线l移动到过点(0,8)时，在可行域内，zx2y126取得zmin028126110，即x0，y8时总运费最少安排的调运方案如下：仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0吨、8吨、4吨，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7吨、0吨、1吨，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少方法技巧解线性规划应用问题的一般步骤(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性约束条件和目标函数；(3)作出可行域并利用数形结合求解；(4)作答
13、跟踪探究2.某学校用800元购买两种教学用品，A种用品每件100元，B种用品每件160元，两种用品至少各买一件，要使剩下的钱最少，A，B应各买的件数为()A2,4 B3,3C4,2 D不确定解析：设购买A种用品x件，B种用品y件，剩下的钱为z元，则求z800100x160y最小时的整数解(x，y)，求得故要使剩下的钱最少，A，B应各买的件数为3,3，所以选B.答案：B授课提示：对应学生用书第66页课后小结(1)画图对解决线性规划问题至关重要，关键步骤基本上是在图上完成的，所以作图应尽可能准确，图中操作尽可能规范(2)作不等式组表示的可行域时，注意标出相应的直线方程，还要给可行域的各顶点标上字母
14、，平移直线时，要注意线性目标函数的斜率与可行域中边界直线的斜率进行比较，确定最优解(3)在解决与线性规划相关的问题时，首先考虑目标函数的几何意义，利用数形结合方法可迅速解决相关问题素养培优1弄错目标函数与直线的截距间的关系致误如果实数x，y满足条件那么z2xy的最大值为_易错分析此题易错在于没有弄清直线y2xz在y轴上的截距与z的关系，误以为在y轴上的截距最大时z取最大值，事实上，直线y2xz在y轴上的截距是z，因此当直线在y轴上的截距最大时，z反而取最小值自我纠正画出不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分)由z2xy可得y2xz，因此平移直线y2xz，当直线经过可行域中的点B时，直线在y轴
15、上的截距最小，则z取得最大值，而B(0，1)，所以zmax02(1)1.答案：12忽视边界线与目标函数的斜率大小若x，y满足约束条件求zx2y的最大值易错分析由，得，即B(30,15)不比较zx2y，xy450,5x2y1800的斜率而认为过(30,15)为最优解自我纠正由得可行域如图由于1.zx2y过点A(0,45)时zmax24590.3盲目代入边界点求最值若x，y满足条件求zxy的最小值易错分析由得点A(1,2)，由得B(1,0)由得C(3,4)为区域的边界点zxy过点(1,0)时最小，zmin1，此题易错在不分析具体可行域，盲目代入边界点自我纠正由不等式组得可行域当zxy过点A(1,2)时，z最小zmin123.
