1、2.1.4函数的奇偶性【选题明细表】知识点、方法题号奇偶函数定义及性质1,2,5,7,10求解析式、函数值3,4,11单调性、奇偶性综合应用6,8,9,121.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为(D)(A)y=x+1(B)y=-x3(C)y=(D)y=x|x|解析:选项A是增函数不是奇函数,选项A不正确;选项B,C不是定义域内的增函数.故选D.2.(2018山东烟台期中)函数f(x)=ax2+bx+2a-b是定义在a-1,2a上的偶函数,则a+b等于(C)(A)-(B)0(C)(D)1解析:函数为偶函数,则定义域关于坐标原点对称,即a-1+2a=0,所以a=,结合二次函数的性质可得,其对称轴
2、-=0,所以b=0,所以a+b=.3.(2018江西南昌实验中学期中)已知f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,那么f(2)等于(A)(A)-20(B)10(C)-4(D)18解析:因为f(x)=ax5+bx3+cx-8,且f(-2)=4,所以f(-2)=-32a-8b-2c-8=4,解得32a+8b+2c=-12,所以f(2)=32a+8b+2c-8=-12-8=-20.故选A.4.设f(x)是R上的奇函数,且当x0,+)时,f(x)=x(1+),那么当x(-,0时,f(x)等于(D)(A)-x(1+)(B)x(1+)(C)-x(1-)(D)x(1-)解析:当x(-,0时,-
3、x0,+),所以f(-x)=-x(1+)=-x(1-).因为f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x(1-).故选D.5.(2018北京石景山九中期中)函数y=f(x)是定义在-2,a(a-2)上的偶函数,则a的值为.解析:因为f(x)是偶函数,且定义域为-2,a,所以定义域-2,a关于原点O对称,所以a=-(-2)=2.答案:26.(2018陕西安康期中)已知f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,若f(2)=2,则g(-2)=.解析:因为f(x)+g(x)为偶函数,f(x)-g(x)为奇函数,所以解得g(-2)=f(2)=2.答案:27.设函数f(x),g(x)的定
4、义域都是R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(C)(A)f(x)g(x)是偶函数(B)|f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x)|g(x)|是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数.故选C.8.(2018黑龙江齐齐哈尔检测)定义在R上的偶函数f(x)满足对任意的x1,x2(-,0(x1x2),有0.则(B)(A)f(-3)f(-2)f(1)(B)f(1)f(-2)f(-3)(C)f(-2)
5、f(1)f(-3)(D)f(-3)f(1)f(-2)解析:由于函数f(x)对任意的x1,x2(-,0(x1x2),0,所以函数f(x)在(-,0)上是减函数,又函数f(x)是偶函数,所以函数f(x)在(0,+)上是增函数,且f(-2)=f(2),f(-3)=f(3);所以有f(1)f(2)f(3),从而得f(1)f(-2)f(-3);故选B.9.设函数f(x)是奇函数,在(0,+)上是增函数,且有f(-3)=0,则xf(x)0的解集是(D)(A)x|-3x3(B)x|x-3或 0x3 (C)x|x3(D)x|-3x0或0x3解析:根据已知条件,可画出f(x)的大致图象,如图,从图中可得xf(x
6、)0的解集为x|-3x0或0x3.故选D.10.(2018山东安丘期中)设a为常数,函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数,则a=.解析:法一因为f(x+a)是偶函数,所以f(a+x)=f(a-x).所以函数y=f(x)的对称轴方程为x=a.又f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1的对称轴方程为x=2.故a=2.法二函数f(x)=x2-4x+3为开口向上的抛物线,对称轴方程为x=2.有f(x+2)=x2-1,此时对称轴为x=0,即f(x+2)为偶函数,所以a=2.答案:211.已知函数f(x)是定义在R上的函数,f(x)图象关于y轴对称,当x0时,f(x)=x2-4x.(1)
7、画出f(x)图象;(2)求出f(x)的解析式;(3)若函数y=f(x)与函数y=m的图象有四个交点,求m的取值范围.解:(1)如图所示.(2)当x0,f(-x)=x2+4x,因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x)=x2+4x,所以f(x)=(3)最小值为f(-2)=f(2)=-4,由(1)图象可知函数y=f(x)与函数y=m的图象有四个交点时,-4m0.12.(2018山东邹城期中)已知偶函数f(x)与奇函数g(x)的定义域都是(-2,2),它们在0,2上的图象如图所示,则使关于x的不等式f(x)g(x)0成立的x的取值范围为(C)(A)(-2,-1)(1,2)(B)(-1,0)(0,1)(C)(-1,0)(1,2)(D)(-2,-1)(0,1)解析:当0x0,g(x)0,f(x)g(x)0;当1x2时,f(x)0,f(x)g(x)0时,其解集为(1,2),因为y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,所以f(x)g(x)是奇函数,由奇函数的对称性可得当x0时,其解集为(-1,0),综上,不等式f(x)g(x)0的解集是(-1,0)(1,2),故选C.