1、安徽省安庆市2020届高三数学第三次模拟考试试题 理（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项： 1答题前，务必在答题卡规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号。2答题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3答题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、 笔迹清晰。作图题可选用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的 黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写 的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。第卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题
2、5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1. 已知集合，则AB=A. B. C. D. 2是虚数单位，复数是纯虚数，则实数A. B. C. D. 3函数在上的图象是 4. 在如图所示的算法框图中，若输入的，则输出结果为A. B C D5. 设公差不为0的等差数列的前项和为.若，则在，这四个值中，恒等于0的个数是A. B. C. D. 6为了得到正弦函数的图象，可将函数的图象向右平移个单位长度，或向左平移个单位长度（，），则的最小值是A. B. C. D.7如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该
3、几何体的体积是A.B. C.D.第7题图8. 设，则A. B. C. D.9. 有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于A. B. C. D.10. 在平行四边形中，是BC的中点，点在边上，且，若，则A. B. C. D.11. 双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，直线，的斜率分别为，则的值等于A. B. C. D.12. 定义在上函数满足，且当时，. 则使得在上恒成立的的最小值是A. B. C. D. 第II卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考
4、题两部分. 第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将每题的正确答案填在题中的横 线上）13. 已知公比不为1的等比数列,且，,则数列的通项公式_.14在展开式中，的偶数次幂项的系数之和为，则 .15过抛物线焦点的直线交抛物线于点、，交准线于点，交轴于点， 若，则弦长 .16 九章算术卷第五商功中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”. 现有阳马,平面，,，.上有一点，使截面第16题图的周长最短，则与所成角的余弦值等于 .三、 解答题：（本大题满分60分.解答应写出文
5、字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）在中，三内角，对应的边分别为，若为锐角，且.（）求；（）已知，求的面积.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，分别为和的中点，且（）求证：/平面；第18题图（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值19.（本小题满分12分）已知椭圆（）的离心率是，原点到直线的距离等于，又知点（）求椭圆的标准方程；（）若椭圆上总存在两个点、关于直线对称，且，求实数的取值范围20.（本小题满分12分）为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，
6、并绘制了如下茎叶图：（）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数，并将连续正常运行时间超过和不超过的次数填入下面的列联表：超过不超过改造前ab改造后cd试写出a，b，c，d的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：，（）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种.对生产线设定维护周期为天（即从开工运行到第天（）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经
7、测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元. 现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：，.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.21.（本小题满分12分）已知函数，. （）若为上的增函数，求的取值范围；（）若，且，证明：.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时请写清题号22（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），以原点为极点，以轴非负半轴为极轴建立极坐
8、标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（）设点分别是曲线上两动点且，求面积的最大值.23.（本小题满分10分）选修45不等式选讲已知函数（其中实数）（）当，解不等式；（）求证：.安庆市2020届高三第三次模拟考试数学（理科）试题参考答案及评分标准第I卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.题号123456789101112答案BABBCCCACCBD1. B. 解析：，所以AB.故选B.2. A. 解析：，因为是纯虚数，所以. 故选A.3. B. 解析：函数是奇函数，排除A，D；当时，排除C. 故选B.4. B. 解析：故呈现以4为周期的特点，当时，
9、输出结果与时结果相同，为.故选B.5. C. 解析：设的首项为，公差为，由，即，得，所以，所以，.故选C.6. C. 解析：因为，所以.故选C.7. C. 解析：该几何体是四棱锥，其中，底面是直角梯形，.体积.8. A. 解析：,，由于，故.故选A.9. C. 解析：记事件“4名同学所报选项各不相同”，事件“已知甲同学报的项目其他同学不报”，.故选C.10. C. 解析：记，则，所以. 因为，所以，得，所以.故选C.11. B. 解析：如图，设圆与三边的切点分别为，根据圆切线的性质和双曲线的定义，有.又，所以，所以，即点的横坐标为3，所以.因为，所以. 故选B.12. D. 解析:根据题设可知
10、，在区间（）上，所以当时，.作函数的图象，如图所示. 在上，由，得. 由图象可知当时，.第卷二、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 解析: 设公比为，则，所以，故（舍）或，所以，故.14. 解析：方法一：设，则，由，得.方法二：设展开式的偶数次幂项的系数之 和为，奇数次幂项的系数之和为，则，得，由得.15. 解析：设点、在准线上的射影分别是点、，根据抛物线的定义可知原点是线段的中点，所以是线段的中点，又，可得，所以. 因为，所以，所以可得点的坐标为（点只能在第一象限），所以直线的方程为，代入，可求得点的横坐标为，所以，.16解析：要使截面的周长最短，则最短，将底面沿展开成平面
11、图形（如图），连接，交于，则，此时，由，则，故，,故,作交于，连接,则与所成角为，易得,由于，.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分.17.（本小题满分12分）解析：（）由，得.所以，或.因为为锐角，所以，即，故. 5分（）由，得.因为，所以.根据正弦定理，及，得，所以，.代入，得，所以.所以的面积等于. 12分18.（本小题满分12分）解析：（）如图1，取线段的中点，连接、. 因为为的中点，所以/，且.又为的中点，所以/，且，所以/，且=，所以四边形是平行
12、四边形，所以/. 又平面，平面，所以/平面. 6分（）作于点，因为，所以，所以，即为的中点.因为，所以平面，所以，所以平面.故可以点为原点，射线、分别为轴和轴的正半轴，以平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图2.令，则，所以，. 设平面一个法向量为，则，得.取，所以.又平面的一个法向量为，设平面与平面所成锐二面 角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为 12分19.（本小题满分12分）解析：（）由，得，所以椭圆的标准方程为 5分（）根据题意可设直线的方程为，联立，整理得，由，得设，则，.又设的中点为，则，.由于点在直线上，所以，得，代入，得，所以 .因为，所以.由，得，所以，即 . 又
13、由得. 故实数的取值范围为. 12分20.（本小题满分12分）解析：（）（1）由茎叶图知根据茎叶图可得：，. 2分（2）由于，所以有99%的把握认为连续正常运行时间有差异 5分（）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护的次数为次，则正常维护费为万元，保障维护费为万元.故一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.由于，设一个生产周期内的生产维护费为万元，则分布列为22.22.63.24则万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元 12分21.（本小题满分12分）解析：（），若为上的增函数，则恒成立，
14、即恒成立.设，则 ，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故，所以. 5分（）若，由（）知为上的增函数.由于，已知，且，不妨设.设函数，则，则，设，则，由于，所以为上的增函数，所以，所以为上的减函数，所以，所以，而为上的增函数，所以，故.从而.故. 12分（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22（本小题满分10分）选修44坐标系与参数方程解析：（）由条件知消去参数得到曲线的普通方程为.因可化为，又，代入得，于是曲线的直角坐标方程为. 5分（）由条件知曲线均关于轴对称，而且外切于原点，不妨设，则，因曲线的极坐标方程为，所以，于是，所以当时，面积的最大值为6. 10分23.（本小题满分10分）选修45不等式选讲解析：（）由条件知时，于是原不等式可化为；解得；解得；解得，所以不等式的解集为5分（）由已知得当且仅当时，等号成立，于是原不等式得证. 10分