1、课 题：含有绝对值的不等式（2）教学目的： 1进一步掌握含有绝对值不等式的定理及其推论；2培养学生的化归(或转化)的数学思想3提高分析问题和解决问题以及综合运用数学知识的能力4培养创新意识,提高学生的数学素质教学重点：不等式性质、定理的综合运用教学难点：常见证明技巧授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：上一节课，我们学习了含绝对值的不等式的一个重要性质，并认识到证明不等式的方法的多样性与灵活性，这一节，我们将综合运用绝对值的性质、不等式的性质、算术平均数与几何平均数的定理证明不等式定理：注意：1 左边可以“加强”同样成立，即2 这个不等式俗称“三角不
2、等式”三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3 a,b同号时右边取“=”，a,b异号时左边取“=”推论1：推论2：二、讲解范例：例1 已知a、b、c、d都是实数，且a2b22，c2d2R2，(0，R0)求证：acbd证明：(综合法)a、b、c、d都是实数，acbdacbda2b22，c2d2R2，acbd例2 设f (x) = x2pxq, 求证：| f (1) |、| f (2) |、| f (3) | 中至少有一个不小于说明：此题正面证明较为困难，“正难则反”，引导学生尝试“反证法”证明证明：（反证法）假设原命题不成立，则|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|, |f(1)|+2
3、 |f(2)|+|f(3)|2 由f(1)=1+p+q, f(2)=4+2p+q, f(3)=9+3p+q 得f(1)+f(3)2f(2)=2 |f(1)|+2 |f(2)|+|f(3)|f(1)+f(3)2f(2)|=2这与矛盾，故假设不成立，求证为真例3 求证：证法一：(分析法)要证明只需证 (|a|+|b|)(1+|a+b|)|a+b| (1+|a|+|b|)只需证 |a|+|b|+(|a|+|b|)|a+b|a+b|+(|a|+|b|)|a+b|只需证|a|+|b|a+b|显然上式成立 所以原不等式成立证法二：(利用函数的单调性)构造函数f(x)= (x0)f(x)= =1函数f(x)
4、在0，是增函数f(|a|+|b|)=， f(|a+b|)=而 |a|+|b|a+b|，f(|a|+|b|)f(|a+b|)即例4 已知,求证：说明：根据已知条件x2y2=1的形式特点，可以进行三角代换，即设，转化为三角形式的不等式解：设， 则（其中tan=a）|sin()|1即 三、课堂练习：1若|xa，yan，则下列不等式一定成立的是( D )Axy2 Bxy2n Cxyn Dxyn2已知函数f(x)=2x+1，对任意的正数，使得f(x1)f(x2)成立的一个充分非必要条件是( C )Ax1x2 Bx1x2 Cx1x2 Dx1x2四、小结 ：通过本节学习，要求大家进一步认识证明不等式的方法的
5、多样性，并能灵活掌握绝对值的性质、不等式的性质，算术平均数与几何平均数的定理对不等式进行证明五、课后作业：1 若ab，a0，b0，则 2 解不等式x24x20x或x或x43求证:(1)|x+1|+|x-1|2;(2)|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|6;(3)2|x+2|+|x+1|1(当且仅当x=-2时,“=”号成立)证明:(1)|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2(2)|x+1|+|x-1|(x+1)-(x-1)|=2当且仅当(x+1)(x-1)0,即-1x1时“=”成立;又|x+2|+|x-2|(x+2)-(x-2)|=4,当且仅当(x+2)(x-2)0,即-2
6、x2时“=”号成立|x+2|+|x+1|+|x-1|+|x-2|6,当且仅当即-1x1时“=”号成立(3)|x+2|+|x+1|(x+2)-(x+1)|=1,当且仅当(x+2)(x+1)0,即-2x-1时“=”号成立;又|x+2|0,当且仅当x=-2时，“=”号成立,2|x+2|+|x+1|1,当x=-2时，“=”号成立4已知f(x)=,当|a|b|时,求证:(1)|a+b|f(a)-f(b)|证明:(1)| a+b|a|+|b|=|f(a)+f(b)|(2)由(1)得:|a+b|b|时,又a0,从而|a|0,有|-1-|b|(|b|0) =|a|-|a|-|b|综上所述有:|a|-|b|(a
7、b)6若|x|1,|y|1,|z|1,求证：|1证明：所证不等式|x+y+z+xyz|1+xy+yz+zx| (x+y+z+xyz)2(1+xy+yz+zx)2 (xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1)(xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1)0(x+1)(y+1)(z+1)(x-1)(y-1)(z-1)0(x2-1)(y2-1)(z2-1)0由于|x|1,|y|1,|z|1，从而x21,y21,z21,于是(x2-1)(y2-1)(z2-1)0成立,所以原不等式成立7已知a,bR,求证:证明:原不等式|a+b|(1+|a|)(1+|b|)|a|(1+|a+b|)(1+|b|)+|b|(1+|a+b|)(1+|a|)|a+b|(1+|b|)+|a+b|a|(1+|b|)|a|(1+|b|)+|a|(1+|b|)|a+b|+|b|(1+|a|)+|b|a+b|(1+|a|)|a+b|+|a+b|b|a|+2|ab|+|b|+|b|a+b|+|ab|a+b|a+b|a|+|b|+2|ab|+|ab|a+b|由于|a+b|a|+|b|成立,显然最后一个不等式成立,从而原不等式成立以上证明是最基本的方法,但过程繁琐冗长,利用放大技巧证明要简捷得多,证明如下:|a+b|a|+|b|a|+|b|-|a+b|0,六、板书设计（略）七、课后记：
