1、临川二中 2015-2016 学年上学期高三年级期中考试 数学（理科）试卷 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 一、选择题 1.已知集合 A=2|lg1,|40 x yxBx x，则 AB （）A.|12xx B.|13xx C.|12xx D.|12xx 2.已知 i 是虚数单位，m，nR,则“m=n=1”是“2122mnii ”的（）A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若平面向量a、b 满足2a，2b，aba，则a 与b 的夹角是（）A 512 B 3 C 16 D 14 4.等比数列 na的前项和为nS，已知321510,9Saa a，则
2、1a 等于（）A 13 B 13 C 19 D 19 5.下列积分值等于 1 的是（）A 10 xdx B 22(cos)x dx C 121 4x dx D 11edxx 6.运行程序框图，若输入 x 的值为 1,则输出 S 的值为（）A.64 B.73 C.512 D.585 7.如图，在矩形 ABCD 中，3,22ABBC，沿 BD 将矩形 ABCD 折叠，连接 AC，所得三棱锥 A-BCD 的正视图和俯视图如图所示，则三棱锥 ABCD的侧视图的面积为（）A 925 B125 C 1825 D 3625 8.在C中，三个内角 ，C 所对的边为 a，b，c，若8ab，6ab，coscos2
3、cosCabc ，则c （）A2 7 B2 3 C4 D3 3 9.函数 2 sin0,22fxwxw的部分图象如图所示，则,w 的值分别是（）A2，3 B2，6 C4，6 D4，3 10.定 义 在 R 上 的 可 导 函 数 f x，当0,x时，0 x fxfx恒 成 立，121,2,222afbfcf，则,a b c 的大小关系为（）A cab B bca C acb D cba 11.已知 G,N,P 在ABC所在平面内，a,b,c 分别为角 A,B,C 所对的边，且分别满足0GAGBGC，sin2sin2sin20A NAB NBC NC，aPAbPBcPC=0，则点 G,N,P 依
4、次是 ABC的（）A.重心，外心，内心 B.重心，垂心，内心 C.重心，垂心，外心 D.内心，外心，重心 12.已知函数|lg|,03,6,36,xxfxfxx 设方程 2 xf xb bR的四个实根从小到大依次为1234,x x x x，对于满足条件的任意一组实根，下列判断中一定正确的为（）A.122xx B.34925xx C.340661xx D.1219xx 二、填空题 13.二项式61xx的展开式中常数项为 （用数字作答）.14.已知函数 fx 为奇函数，当0 x 时，lg1f xx，则1f .15.已 知,x y 满 足022yx，且13cos,cos43423yx，则c o s2
5、yx=.16.na的通项公式为nanp ，nb的通项公式为52nnb，设,nnnnnnna abcb ab，若在数列 nc中，9ncc，,9nNn，则实数 p 的取值范围是 .三、解答题 17.已知向量3cos,cos22xxm，sin,cos22xxn，函数 fxm n.()求函数()f x 的最小正周期;()在锐角 ABC中,已知3A，求 f B 的取值范围.18.现有 4 名学生参加演讲比赛，有,A B 两个题目可供选择组委会决定让选手通过掷一枚质地均匀的骰子选择演讲的题目，规则如下：选手掷出能被 3 整除的数则选择 A 题目，掷出其他的数则选择 B 题目（1）求这 4 个人中恰好有 1
6、 个人选择 A 题目的概率；（2）用,X Y 分别表示这 4 个人中选择,A B 题目的人数，记X Y，求随机变量 的分布列与数学期望()E 19.如图，在直棱柱111ABCABC中，90BAC，2ABAC，13AA，D 是 BC的中点，点 E 在棱1BB 上运动（1）证明：1ADC E；（2）当异面直线 AC，1C E 所成的角为60时，求三棱锥111CAB E的体积 20.如图，曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab和部分抛物线22:1Cyx (0)y 连接而成，12,C C 的公共点为,A B，其中1C 的离心率为32.（）求,a b的值；（）过点 B 的直线l 与,
7、12C C分别交于,P Q （均异于点,A B），若 APAQ，求直线l 的方程.21.已知函数 xfxeaxb，,2.71828.a bR e（1）当0,aba 时，求 f x 的极小值；（2）若10f xa对 xR恒成立，求ab 的最大值；（3）当0,aba 时，设 fx为 f x 的导函数，若 f x 有两个不同的零点1x 和2x，且12xx，求证：121223ln.x xfafxx 请考生从下面三题中任选其中一道作答.22.如图，已知圆O 是ABC的外接圆,ABBC,AD 是 BC 边上的高,AE 是圆O 的直径过点C 作圆O 的切线交 BA的延长线于点 F （）求证：AC BCAD
8、AE；（）若2,2 2AFCF，求 AE 的长.23.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与 x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：2 sin()24，曲线C 的参数方程为：22cos,2sin,xy（为参数）（）写出直线l 的直角坐标方程；（）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值.24.不等式选讲已知关于 x 的不等式|2|1mx，其解集为0,4.（）求m 的值；（）若a，b 均为正实数，且满足abm，求22ab的最小值.期中考试数学（理）答案 16 CADCDB 712 CBACAB 13、20 14、lg2 15、5 39 16、1726p 17、（1）1sin62f
9、xx，2T；（2）62B，f B 31 3,22.18、（1）11341232()()3381PC；（2）8().3E 19、（1）AD 平面1B C，1ADC E.（2）11EC A为异面直线 AC，1C E 所成的角，1160EC A，11136A EAC,由勾股定理易得12EB，所以三棱锥111CAB E的体积等于 2.3 20、(1)2,1ab；(2)当直线l 斜率不存在时，不满足题意；当斜率存在时，设l 的方程为(1)yk x，设1122(,),(,)P x yQ x y，联立 22(1)14yk xyx22(4)(4)(1)0kxkx21244kxk，即22248,44kkP kk
10、 同理2(1,2)Qkkk ，由 APAQ解得83k ，即直线l 的方程为8380 xy.21、（1）在,lna上减，ln,a 上增，极小值为ln2ln.faaaa（2）若0a，1xeaxb 对 xR不恒成立（数形结合易得）；所以0a，原不等式等价于1xbeax恒成立.若0a，则0;ab 0 3 4 P 1781 4081 2481 若0a，则12.xabaea x设函数 12xh xaea x，则 121.xxh xaeaa ea由 0hx，解 得l n1xa；由 0hx，解 得l n1xa.所以 22minln12ln.h xhaaaa设 222ln0g aaaa a，可以求出 132ma
11、x1()2g ag ee，即31.2abe所以最大值为31.2 e（3）因为 fx 有两个不同的零点，结合（1）知 minln2ln0f xfaaaa，解得2.ae又因为 010fa，所以210.xx 因为2233lnln12faa aa，经过换元求导不难得出结论：3ln0fa.而1 212122122122.x xxxxxx xfeaeaxx 令1221221212121212122222212122.()2xxxxxxxxxxxxxxxxuueeeeueeteaeeeexxxxu（其中212xxu），令 20uuh uueeu，不难求得 00h uh，所以0t，即1 2121221221220.x xxxxxx xfeaeaxx 综上所述，不等式得证.22、（1）连接 BE，易证 ABEADC，所以 AB ACAD AE，又 ABBC，所以命题得证；（2）因为 FC 是圆O 的切线，所以2FCFA FB，由此可求得4BF，2AB.因为ACFFBC，可 得AFCCFB，所 以 A FA CF CB C，求 得2AC，2cos4ACD，所以14sinsin4ACDAEB，4 14.sin7ABAEAEB 23、（1）2yx （2）22:24Cxy，max22 2.d 24、（1）3m （2）9.2