1、第6讲 与圆有关的定点、定值、最值与范围问题一、填空题1已知实数x，y满足则点(x，y)到圆(x2)2(y6)21上点的距离的最小值是_答案412已知x，y满足x2y24x6y120，则x2y2最小值为_解析法一点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上，故点(x，y)到原点距离的平方即x2y2最小值为(1)2142.法二设圆的参数方程为则x2y2144cos 6sin ，所以x2y2的最小值为14142.答案1423圆C的方程为(x2)2y24，圆M的方程为(x25cos )2(y5sin )21(R)过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_解析如图所示，
2、连接CE，CF.由题意，可知圆心M(25cos ，5sin )，设则可得圆心M的轨迹方程为(x2)2y225，由图，可知只有当M，P，C三点共线时，才能够满足最小，此时|PC|4，|EC|2，故|PE|PF|2，EPF60，则(2)2cos 606.答案64直线axby1与圆x2y21相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0,1)之间的距离的最大值为_解析AOB是直角三角形等价于圆心(0,0)到直线axby1的距离等于，由点到直线的距离公式，得，即2a2b22，即a21且b，点P(a，b)与点(0,1)之间的距离为d ，因此当b时，d
3、取最大值，此时dmax1.答案15已知P是直线3x4y80上的动点，PA、PB是圆x2y22x2y10的切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是_解析如图所示，由题意，圆x2y22x2y10的圆心是C(1,1)，半径为1，由PAPB易知四边形PACB的面积(PAPB)PA，故PA最小时，四边形PACB的面积最小由于PA，故PC最小时PA最小，此时CP垂直于直线3x4y80，P为垂足，PC3，PA2，所以四边形PACB面积的最小值是2.答案26过圆x2y21上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则AB的最小值为_解析设圆上的点为(x0，y0)，其中x00，y0
4、0，切线方程为x0xy0y1，分别令x0，y0，得A、B，所以AB2.答案27若圆C：(xa)2(y1)21在不等式xy10所表示的平面区域内，则a的最小值为_解析由题意，得解得a2.答案28过点P的直线l与圆C：(x1)2y24交于A、B两点，当ACB最小时，直线l的方程为_解析因点P在圆C内，所以当AB长最小时，ACB最小，此时ABPC.由kPC2可得kAB.所以直线l的方程为2x4y30.答案2x4y309过直线xy20上一点P作圆O：x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点P的坐标是_解析因为点P在直线xy20上，所以可设点P(x0，x02)，设其中一个切点为M.因为两条切线
5、的夹角为60，所以OPM30.故在RtOPM中，有OP2OM2，所以OP24，即x(x02)24，解得x0.故点P的坐标是(，)答案(，)10若直线l：axby10始终平分圆M：x2y24x2y10的周长，则(a2)2(b2)2的最小值为_解析由题意，圆(x2)2(y1)24的圆心(2，1)在直线axby10上，所以2ab10，即2ab10.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为，即(a2)2(b2)2的最小值为5.答案5二、解答题11已知以点C(tR，t0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点(1)求证：OAB的面积为定值；(2)设直线y2x4与圆C
6、交于点M，N，若OMON，求圆C的方程(1)证明圆C过原点O，OC2t2.设圆C的方程是(xt)22t2，令x0，得y10，y2；令y0，得x10，x22t.SOABOAOB|2t|4，即OAB的面积为定值(2)解OMON，CMCN，OC垂直平分线段MN.kMN2，kOC，直线OC的方程是y.t，解得t2或t2.当t2时，圆心C的坐标为(2,1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相交于两点当t2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC，此时圆心C到直线y2x4的距离d，圆C与直线y2x4相离，t2不符合题意舍去圆C的方程为(x2)2(y1)25.12已知圆C的方程为(x4)
7、2y216，直线l过圆心且垂直于x轴，其中G点在圆上，F点坐标为(6,0)(1)若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；(2)在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解(1)由题意，设G(5，yG)，代入(x4)2y216，得yG，所以FG的斜率为k，FG的方程为y(x6)设圆心C(4,0)到FG的距离为d，由点到直线的距离公式得d.则直线FG被圆C截得的弦长为27.故直线FG被圆C截得的弦长为7.(2)设P(s，t)，G(x0，y0)，则由，得，整理得3(xy)(482s)x02ty0144s2t2
8、0.又G(x0，y0)在圆C：(x4)2y216上，所以xy8x00.将代入，得(2s24)x02ty0144s2t20.又由G(x0，y0)为圆C上任意一点可知，解得s12，t0.所以在平面上存在定点P(12,0)，使得结论成立13已知C过点P(1,1)，且与M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求C的方程；(2)设Q为C上的一个动点，求的最小值；(3)过点P作两条相异直线分别与C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由解(1)设圆心C(a，b)，则有 解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入，得r
9、22.故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.所以的最小值为4.(也可由线性规划或三角代换求得)(3)由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y1k(x1)，PB：y1k(x1)由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解，故可得xA.同理，xB.所以kAB1kOP.所以直线AB和OP一定平行14. 如图，椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e.过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l
10、：ykxm与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由解(1)|AB|AF2|BF2|8，即|AF1|F1B|AF2|BF2|8，又|AF1|AF2|BF1|BF2|2a，4a8，a2.又e，即，c1，b.故椭圆E的方程是1.(2)由得(4k23)x28kmx4m2120.动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，m0且0，即64k2m24(4k23)(4m212)0，化简得4k2m230.(*)此时x0，y0kx0m，P.由得Q(4,4km)假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上设M(x1,0)，则0对满足(*)式的m，k恒成立，(4x1,4km)，由0，得4x1x30，整理，得(4x14)x4x130.(*)由于(*)式对满足(*)式的m，k恒成立，解得x11.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.