1、2015年安庆市高三第二次质量检测考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知是虚数单位,满足,复数满足,则复数等于 A. B. C. D.2.已知椭圆的离心率为,则实数等于A.2 B.2或 C.或6 D.2或83.设随机变量服从正态分布,且在上取值的概率为0.8,则在(0,3)上取值的概率为 A.0.2 B.0.3 C.0.8 D.0.14.在等比数列中,且是和的等差中项,则的公比为 A.2 B.3 C.2或3 D.65.在极坐标系中,曲线上的两点对应的极角分别为,则弦长等于 A.1 B. C. D.26
2、.已知点是边长为1的正方形的对角线上的任意一点,于,于,则等于 A.1 B. C. D.7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. B. C. D.8.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的处和最后输出的结果应是 A. B. C. D.9.设实数满足,且,则A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值110.已知函数其中,设为的一个 零点,若,则符合条件的的值有 A.1个 B.2个 C.3个 D
3、.无数个二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.若的展开式的常数项是,则实数 12.设实数满足,则的取值范围是 13.已知命题函数的值域为,命题对任意的,不等式恒成立,若命题为真命题,则实数的取值范围是 14.若函数的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为 15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的角旋转,简称转轴,将平面直角坐标系转轴得到新坐标系,设点在两个坐标系中的坐标分别为和,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序
4、号都填上)与轴垂直的直线转轴后一定与轴垂直;当时,点在新坐标系中的坐标为;当时,反比例函数的图象经过转轴后的标准方程是当时,直线的图象经过转轴后的直线方程是点在两个坐标系中坐标之间的关系是三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16(本小题满分12分)如图所示,在平面四边形中,.()当时,求的面积;()设,记四边形的周长为,求的表达式,并求出的最大值.17(本小题满分12分)为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为,丙,丁两棵树苗成活率均为,每棵树苗成活与否相互没有影响.()若甲,乙两棵树苗中有且仅
5、有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求的值()设为最终成活的树苗的数量,求的概率分布列及数学期望值.18(本小题满分12分)如图所示,在四棱柱中,底面是梯形,侧面为菱形,.()求证:;()若,点在平面上的射影恰为线段的中点,求平面 与平面所成锐二面角的余弦值.19(本小题满分13分)已知抛物线,四边形内接于抛物线,如图所示.()若直线的斜率均存在,分别记为,求证:;()若直线的斜率互为相反数,且弦轴,求证:直线与抛物线在点处的切线平行.20(本小题满分13分)已知函数.()若在区间上为单调递增函数,求实数的取值范围;()若,设直线为函数的图象在处的切线,求证:.21(本小题满分1
6、3分)已知数列满足.()求证:对任意;()判断数列的单调性,并说明你的理由;()设为数列的前项和,求证:当时,.2015年安庆市高三模拟考试（二模）数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678910答案ADBBCDABCB1.A【解析】，选.2.D【解析】显然且.当时，椭圆长轴在轴上，则，解得；当时，椭圆长轴在轴上，则，解得，选.3.B【解析】因为服从正态分布，所以，所以.选.4.B【解析】设公比为，由已知， 得解得或，但不符合.选.5.C【解析】、两点的极坐标分别为 、，化为直
7、角坐标为 、，故，选.6.D【解析】设，（，），根据题意可知，且. 所以 ，故.选.（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.）7. A【解析】该几何体的直观图如图所示.选.8.B【解析】. 因为，所以的最小正整数值为5.选.9.C【解析】因为，所以.又，所以，故.当且仅当时取等号. 选.10.B【解析】. 因为，所以，解得.由知，.当时，；当时，；当时，；当时，.故，符合条件的的值有2个.选.二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11. ，【解析】，由，得，.12. ，【解析】由题意，可行域如图所示，则 ， ，所以，故.13.，【解析】函数的值域为；对任意的，不等
8、式恒成立，所以若命题为真命题，则；的范围为.14.，【解析】由图可知，由得，又，得，由图知， ，由，得 所以，阴影部分面积.15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点在新坐标系中的坐标应为，错误；（3）时，函数的图象经过转轴后的标准方程是，错误；（4）直角坐标系中的直线，在坐标系中倾斜角为，且经过点，故转轴后的直线方程是，正确；（5）证明如下：设，则，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16（本题满分12分）【解析】（）在中，根据余弦定理可得. 2分在中，因为，所以当时，根据正弦定
9、理可得，. 的面积. 5分（）在中，由，得， 7分所以 9分因为，所以当且仅当时，有最大值.从而的最大值为. 12分17（本题满分12分）【解析】（）， 4分（）可取0、1、2、3、4= 7分的分布列为01234 9分+ . 12分18.（本小题满分12分）【解析】解一：（）因为侧面为菱形，所以，又，所以 ，从而. 5分（）设线段的中点为，连接、，由题意知平面.因为侧面为菱形，所以，故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图1所示.设，由可知，所以，从而，. 所以 . 由可得，所以. 7分设平面的一个法向量为，由，得 取，则，所以. 9分又平面的法向量为，所以.故平
10、面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分解二：（）连接、，设交于点，连，如图2所示.由，可得，所以.由于是线段的中点，所以，图2又根据菱形的性质，所以平面，从而. 5分（）因为，所以延长、交于点，延长、交于点，且，.连接，则.过点作的垂线交于点，交于点，连接，如图3所示.因为，所以.由题意知平面，所以由三垂线定理得， 图3故是平面与平面所成二面角的平面角. 8分易知，所以.在中，所以.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 12分19（本题满分13分）【解析】 () 证明：设，第19题图 ， 同理：，故 4分同理：，从而得证. 6分() 证明：由，有，设以为切点的切线斜率为，则其方程为，代入 ，
11、得 得，而； 9分由若直线、的斜率互为相反数，则有 ，而点不在上，所以，直线平行于点处的切线. 13分20（本题满分13分）【解析】（）由已知，由已知对恒成立， 故，对恒成立，得，为所求. 4分（）证明：，则函数在处的切线方程为当时，;当时，要证；即证 0 6分令设，则，在上单调递减，而 10分当时，当时，即当时，当时在区间上为增函数，在区间上为减函数时，即有综上， 13分21.（本题满分13分）【解析】()先用数学归纳法证明：（）. 当时，结论正确； 假设时结论成立，即，则时，所以时，结论正确.故，由、及数学归纳法原理，对一切的，都有成立. 4分 ()是单调递减的数列.因为，又，所以 ，. 这说明是单调递减的数列. 8分（）由，得，所以.根据()（），所以，所以 .所以，当时，即.当时，当时，. 13分
