1、第27讲三角形中的三角函数夯实基础【p58】【学习目标】掌握三角形形状的判断方法；三角形有关三角函数求值，能证明与三角形内角有关的三角恒等式【基础检测】1在ABC中，内角A，B所对的边分别为a，b，若acos Abcos B，则ABC的形状一定是()A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形【解析】由acos Abcos B可得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，故2A2B或2A2B，故AB或AB.【答案】D2已知角A是ABC的一个内角，且tan，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D无法判断ABC的形状【解析】t
2、an，tan A4，则A为钝角，即ABC是钝角三角形【答案】C3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足asin Bbcos A，则sin Bsin C的取值范围是()A. B.C. D.【解析】由正弦定理：sin Asin Bsin Bcos Atan A，A，sin Bsin Csin Bsinsin Bcos Bsin，由0B，sin1，故：sin Bsin C.【答案】D4在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，bc，且满足，若点O是ABC外一点，AOB(0)，OA2OB2，则平面四边形OACB面积的最大值是()A2 B1C3 D2【解析】由已知得sin(A
3、B)sin Asin Csin Aca，又bc，ABC为等边三角形，AB254cos ，SOACB12sin AB2sin cos 2sin2.【答案】A5已知锐角ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acos B4csin Cbcos A，则cos C_【解析】因为acos B4csin Cbcos A，所以sin Acos B4sin2Csin Bcos A，即sin Acos Bsin Bcos Asin(AB)sin C4sin2C，所以sin C，又因为0C，所以cos C.【答案】【知识要点】1判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行
4、转化，即化边为角或化角为边，边角统一等腰三角形：ab或AB.直角三角形：_b2c2a2_或_A90_钝角三角形：_a2b2c2_或_A90_锐角三角形：若a为最大边，且满足_a2b2c2_或A为最大角，且_A90_2ABC中常用的一些基本关系式ABC_sin(BC)_sin_A_，cos(BC)_cos_A_，tan(BC)_tan_A_sin _cos_，cos _sin_，tan _典 例 剖 析【p58】考点1判断三角形的形状(1)在ABC中，边a、b、c所对角分别为A、B、C，且，则ABC的形状为()A等边三角形B有一个角为30的直角三角形C等腰直角三角形D有一个角为30的等腰三角形【
5、解析】在ABC中，由正弦定理可得 ，又，sin Bcos B ，且sin Ccos C ，故BC，A，故ABC的形状为等腰直角三角形，故选C.【答案】C(2)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状【解析】法一：利用边的关系来判断由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，即c2b2c2a2，a2b2，ab.又a2b2c2ab，2b2c2b2，b2c2，bc，abc.ABC为等边三角形法二：利用角的关系来判断ABC180，sin Csin(AB)又2cos Asin
6、Bsin C，2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B.sin(AB)0.A与B均为ABC的内角，AB.a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，0Cb，所以AB.又cos(AB)，可知AB为锐角且sin(AB).由正弦定理，于是sin Bsin Asin(AB)Bsin(AB)cos Bcos(AB)sin B.将cos(AB)及sin(AB)的值代入可得3sin Bcos B，平方得9sin2B7cos2B77sin2B，故sin B.(2)由BA及sin B，知cos B.所以cos Acos(AB)Bcos(AB)cos Bsin(AB)sin B，于是sin
7、A，所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，故cos Ccos(AB)cos(AB).【点评】本题主要考查三角变换、正弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力考点3三角函数性质与解三角形的综合问题设f(x)sin xcos xcos2.(1)求f(x)的单调区间；(2)在锐角ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f0，a1，求ABC面积的最大值【解析】(1)由题意知f(x)sin 2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间是(kZ)；单调递减区间是(kZ)(2)由fsin A0，得sin A，由题
8、意知A为锐角，所以cos A.由余弦定理a2b2c22bccos A，可得1bcb2c22bc，即bc2，当且仅当bc时等号成立，因此bcsin A，所以ABC面积的最大值为.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，AB2，BD，BCD2ABD，ABD的面积为2.(1)求AD的长；(2)求CBD的面积【解析】(1)由已知SABDABBDsinABD2，可得sinABD，又BCD2ABD，所以ABD，则cos ABD，在ABD中，由余弦定理得：AD2AB2BD22ABBDcos ABD，可得AD25，所以AD.(2)由ABBC，得ABDCBD，所以sinCBDcos ABD，又BCD2ABD，所
9、以sinBCD2sinABDcos ABD，BDCCBDBCD2ABDABDCBD，所以CBD为等腰三角形，即CBCD.在CBD中，由正弦定理，得CD，所以SCBDCBCDsinBCD.方 法 总 结【p59】三角形中的三角函数主要涉及三角形的边角转化，三角形形状判断，三角形内三角函数求值及三角恒等式证明等以正弦、余弦定理为知识框架，以三角形为主要依托，结合实际问题考查应用要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理一般考虑从两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理走 进 高 考【p59】1(2018
10、天津)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值【解析】(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsin Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1.所以sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2
11、Asin B.2(2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为.(1)求sin Bsin C；(2)若6cos Bcos C1，a3，求ABC的周长【解析】(1)由题设得acsin B，即csin B.由正弦定理得sin Csin B.故sin Bsin C.(2)由题设cos Bcos C及(1)得cos Bcos Csin Bsin C，即cos(BC)，所以BC，故A.由题设得bcsin A，即bc8.由余弦定理得b2c2bc9，即(bc)23bc9，得bc.故ABC的周长为3.考 点 集 训【p207】A组题1在ABC中，角A，B，C所对边分别为a，
12、b，c.若a2b2c20，则三角形ABC是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D钝角三角形【解析】由余弦定理得cos C0，角C为钝角，即三角形ABC为钝角三角形【答案】D2在ABC中， cos2，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰或直角三角形D等腰直角三角形【解析】因为cos2，所以，有cos B，整理得a2b2c2，故C， ABC的形状为直角三角形【答案】B3ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且cos 2B3cos(AC)20，b，则等于()A3 B. C. D2【解析】cos 2B3cos(AC)22cos2B3cos B10，cos B或cos B1
13、(舍)B.2.【答案】D4设a，b，c分别为ABC三内角A，B，C的对边，面积Sc2，若ab，则a2b2c2的最大值是()A3 B4 C21 D5【解析】Sc2absin C，ab，c2sin C，sin Ca2b22abcos C，可得a2b2sin C2cos C，a2b2c2sin C2cos Csin C24sin4.【答案】B5在ABC中，a4，b5，c6，则_【解析】根据题意，cos A.因为0A，所以sin A.同理可求sin C，所以1.【答案】16在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状【解析】(a2b2)sin(AB)(a2b2
14、)sin(AB)，b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)，2sin Acos Bb22cos Asin Ba2，即a2cos Asin Bb2sin Acos B.法一：由正弦定理知a2Rsin A，b2Rsin B，sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B.又sin Asin B0，sin Acos Asin Bcos B，sin 2Asin 2B.在ABC中，02A2，02B2，2A2B或2A2B，AB或AB.ABC为等腰或直角三角形法二：由正弦定理、余弦定理得：a2bb2a，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，(a2b2)(a2b2c2
15、)0，a2b20或a2b2c20，即ab或a2b2c2.ABC为等腰或直角三角形7已知函数f(x)sin xcos xcos2xm(mR)的图象过点M.(1)求m的值；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c. 若ccos Bbcos C2acos B，求f(A)的取值范围【解析】(1)f(x)sin 2x(1cos 2x)msinm，因为点M在函数f(x)的图象上，所以sinm0，m.(2)因为ccos Bbcos C2acos B，所以sin Ccos Bsin Bcos C2sin Acos B，所以sin(BC)2sin Acos B，即sin A2sin Acos B，又
16、因为A(0，)，所以sin A0，所以cos B.因为B(0，)，所以B，AC，所以0A，2A；令2A，得A，当A时，f(A)单调递增，当A时，f(A)单调递减，f(0)，f1，f.所以sin，则f(A)的取值范围是.B组题1已知锐角A是ABC的一个内角，a，b，c是三角形中各角的对边，若sin2Acos2A，则下列各式正确的是()Abc2a Bbc2aCbc2a Dbc2a【解析】sin2Acos2A，cos 2A.0A，02A，2A，A.由余弦定理得a2b2c2bc(bc)23bc(bc)2(bc)2，4a2(bc)2，2abc.【答案】C2已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b
17、，c，且2acosbc，ABC的外接圆半径为，则ABC周长的取值范围是()A(3，9 B(6，8 C(6，9 D(3，8【解析】由2acosbc得acos Basin Bbc，由正弦定理得sin Acos Bsin Asin Bsin Bsin(AB)，即sin Asin Bsin Bcos Asin B，因为sin B0，所以sin A1cos A，所以sin，由0A得A，所以A，所以A.又ABC的外接圆半径为，所以a2sin A3，bc2sin B2sin C2266sin，因为0B，所以B，故36sin6，所以6abc9.【答案】C3在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对
18、边，且a2csin A0.若c2，则ab的最大值为_【解析】a2csin A0a2csin A，由三角形的正弦定理得：，所以，因为在三角形中sin A0，所以，即sin C，因为三角形ABC是锐角三角形，所以C，所以AB.由三角形的正弦定理，得ab(sin Asin B)sin Asin (AC)4sin，因为三角形ABC是锐角三角形，所以即解得A，则A，当A，即A时，ab取得最大值4.【答案】44已知函数f(x)cos x(sin xcos x)m(mR)，将yf(x)的图象向左平移个单位后得到g(x)的图象，且yg(x)在区间内的最小值为.(1)求m的值；(2)在锐角ABC中，若g，求sin Acos B的取值范围【解析】(1)f(x)sin xcos xcos2xmsin 2xcos 2xmsinm，g(x)sin msinm，x，2x，当2x时，g(x)取得最小值mm，故m.(2)gsin，sin，C，C，C，即C.sin Acos Bsin Acossin Acos Asin Asin Acos Asin.ABC是锐角三角形，解得A，A，sin，sin，故sin Acos B的取值范围是.