1、第一部分 专题六 第2讲1若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|(B)A11B9C5D3解析：|PF1|30且m4，当0m4时，椭圆长轴在y轴上，则，解得m8.故选D.4已知椭圆C：1(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点若AF1B的周长为4，则C的方程为(A)A1By21C1D1解析：由题意及椭圆的定义知4a4，则a，又，c1，b22，C的方程为1，选A5已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E
2、的离心率的取值范围是(A)ABCD解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8，所以a2，又d，所以1b2，所以e，因为1b2，所以00)的准线经过双曲x2y21的个焦点，则p2.解析：拋物线y22px(p0)的准线方程为x(p0)，故直线x过双曲线x2y21的左焦点(，0)，从而，得p2.7设F是双曲线C：1的一个焦点若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.解析：不妨设F(c,0)，PF的中点为(0，b)由中点坐标公式可知P(c,2b)又点P在双曲线上，则1，故5，即e.8(2016辽宁沈阳调考)在平面直角坐
3、标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1,0)，且点P(0,1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程解析：(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(1,0)，点P(0,1)在C1上，所以c1，b1，所以a2b2c22.所以椭圆C1的方程为y21.(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在且不等于0，设直线l的方程为ykxm，由消去y并整理得(12k2)x24kmx2m220.因为直线l与椭圆C1相切，所以116k2m24(12k2)(2m22)0.整理得2k2m210.由消去y并整理得k2x2(2km4)xm20.因为直线
4、l与抛物线C2相切，所以2(2km4)24k2m20.整理得km1综合，解得或所以直线l的方程为yx或yx.9如图，椭圆E：1(ab0)经过点A(0，1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.解析：(1)由题设知，b1.结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.(2)证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20.则x1x2，x1x2.从而直线
5、AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.10如图，椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2，|PF2|2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.解析：(1)由椭圆的定义，有2a|PF1|PF2|(2)(2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，得2c|F1F2|2，即c，从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.(2)方法一连接F1Q，如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1PF2，则1，xyc2，求得x0，y0.由|PF1|PQ|PF2
6、|得x00，从而|PF1|222(a2b2)2a(a)2.由椭圆的定义，有|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PF2，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|.因此(2)|PF1|4a，即(2)(a)4a，于是(2)(1)4，解得e.方法二连接F1Q，由椭圆的定义，有|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|QF1|PF1|，因此，4a2|PF1|PF1|，得|PF1|2(2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2)a2(1)a.由PF1PF2知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2.因此e