1、北京四中2020-2021学年度第一学期测试二数学试卷（2020.12.07）（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若全集，则（ ）A.B.C.D.2.下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（ ）A.B.C.D.3.已知角的终边经过点，则角可以为（ ）A.B.C.D.4.圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）A.B.C.D.25.函数在区间内的零点个数为（ ）A.2B.3C.4D.66.在平面直角坐标系中，点，点B在圆上，则的最大值为（ ）A.3B.C.D.47.设，则“是第一象限角”是“”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.
2、充要条件D.既不充分也不必要条件8.设，.若是与的等比中项，则的最小值为（ ）A.B.C.D.89.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，后物体的温度可由公式求得.把温度是100的物体，放在10的空气中冷却后，物体的温度是40，若取1.099，则t的值约等于（ ）A.6.61B.4.58C.2.89D.1.6910.对于数列，若存在常数M，使得对任意正整数n，与中至少有一个不小于M，则记作，那么下列命题正确的是（ ）A.若，则数列各项均不小于MB.若，则C.若，则D.，则二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若直线与直线相互平行，则实数a等于_；这两条平
3、行直线间的距离为_.12.已知双曲线，则渐近线方程为_；离心率e为_.13.已知函数，且是函数的极值点，给出以下几个命题：；，其中正确命题的序号是_.14.能够说明“存在不相等的正数a，b，使得”是真命题的一组a，b的值为_.15.如图放置的边长为1的正方形沿x轴滚动.设顶点的轨迹方程是，则的最小正周期为_；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为_.三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.（本小题满分14分）已知等比数列的各项均为正数，.（）求数列的通项公式；（）设.证明：为等差数列，并求的前n项和.17.（本小题满分14分）已知椭圆，直线l过点与椭圆W交于两点A，B，O为坐标原点
4、.（）设C为的中点，当直线l的斜率为时，求线段的长；（）当面积等于1时，求直线l的斜率.18.（本小题满分14分）已知函数满足下列3个条件中的2个条件：函数的周期为；是函数的对称轴；且在区间上单调；（）请指出这二个条件并说明理由，求出函数的解析式；（）若，求函数的最值.19.（本小题满分14分）已知抛物线过点.过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线，交于点A，B，其中O为原点.（）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（）求证：A为线段的中点.20.（本小题满分14分）已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求证：存在唯一的，使得曲线在点处的切线的斜率
5、为；（）比较与-2.01的大小，并加以证明.21.（本小题满分15分）已知集合 ，函数对于，定义：，称为的满意指数.排列为排列的生成列.（）当时，写出排列3,5,1,4,6,2的生成列；（）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于中的排列，进行如下操作：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列.证明：新的排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上1-5：DBCAB6-10：CCCBD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.
6、，12.，13.14.答案不唯一，例：3，15.4，三、解答题：本大题共6小题，共85分16.（本小题满分14分）解：（）解：设等比数列的公比为q，依题意.1分因为，两式相除得，3分解得，舍去.4分所以.6分所以数列的通项公式为.7分（）解：由（）得.9分因为，所以数列是首项为1，公差为的等差数列.12分所以.14分17.（本小题满分14分）解：（）当直线l的斜率为时，直线l的方程为.由得，设，.则，所以点C的坐标，所以.（）设直线，由，得，所以，.原点O到直线l的距离.所以面积为.因为面积等于1，所以，解得，带入判别式检验，符合题意，所以.18.（本小题满分14分）解：（）由可得，.1分由得
7、：，.2分由得，4分若成立，则，.5分若成立，则，不合题意.6分若成立，则，与中的矛盾，所以不成立.8分所以，只有成立，.9分（）由题意得，.12分所以，当时，函数取得最大值1；当或时，函数取得最小值.14分19.（本小题满分14分）（1）抛物线C的方程为，焦点坐标为，准线方程为；（2）见解析.【解析】（1）由抛物线过点，得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为.（2）由题意，设直线l的方程为，l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线的方程为，点A的坐标为.直线的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段的中点.20.（本小题满分14分）解
8、：（）函数的定义域是，导函数为.1分所以，又，所以曲线在点处的切线方程为.4分（）由已知.5分所以只需证明方程在区间（1，2）有唯一解.即方程在区间（1，2）有唯一解.6分设函数，7分则.当时，故在区间（1，2）单调递增.8分又，所以存在唯一的，使得.9分综上，存在唯一的），使得曲线在点处的切线的斜率为.10分（）.证明如下：11分首先证明：当时，.设，12分则.当时，所以，故在单调递增，13分所以时，有，即当时，有.所以.14分21.（本小题满分15分）解：（）解：当时，排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,-2,1,4,3.4分（）证明：设的生成列是；的生成列是与.从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即： a，.显然，下面证明：.6分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数.由于排列的前k项各不相同，设这k项中有l项比小，则有项比大，从而.同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而.因为与是k个不同数的两个不同排列，且，所以，从而.所以排列和的生成列也不同.10分（）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以，.11分依题意进行操作，排列变为排列，设该排列的生成列为.13分所以.所以，新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加2.15分