1、阶段质量检测(二) 圆锥曲线与方程质(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1(2017浙江高考)椭圆1的离心率是()A.B.C.D.解析:选B根据题意知,a3,b2,则c,椭圆的离心率e.2是任意实数,则方程x2y2sin 4的曲线不可能是()A椭圆B双曲线C抛物线D圆解析:选C由于R,对sin 的值举例代入判断sin 可以等于1,这时曲线表示圆,sin 可以小于0,这时曲线表示双曲线,sin 可以大于0且小于1,这时曲线表示椭圆3设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若|BF2
2、|F1F2|2,则该椭圆的方程为()A.1By21C.y21D.y21解析:选A|BF2|F1F2|2,a2c2,a2,c1,b.椭圆的方程为1.4已知双曲线C:1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()AyxByxCyxDyx解析:选Ce21,则C的渐近线方程为yx.5设P是双曲线1(a0)上一点,双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F1,F2分别是双曲线的左、右焦点,若|PF1|3,则|PF2|()A1或5B6C7D8解析:选C双曲线1的一条渐近线方程为3x2y0,故a2.又P是双曲线上一点,故|PF1|PF2|4,而|PF1|3,则|PF2|7.6已知直线ykxk(k为实数)及抛
3、物线y22px(p0),则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线没有公共点解析:选C因为直线ykxk恒过点(1,0),点(1,0)在抛物线y22px的内部,所以当k0时,直线与抛物线有一个公共点,当k0时,直线与抛物线有两个公共点7已知双曲线1(b0)的左、右焦点分别是F1,F2,其一条渐近线方程为yx,点P(,y0)在双曲线上,则()A12B2C0D4解析:选C由渐近线方程为yx,知双曲线是等轴双曲线,双曲线方程是x2y22,于是两焦点分别是F1(2,0)和F2(2,0),且P(,1)或P(,1)不妨取点P(,1),则(2,1)
4、,(2,1)(2,1)(2,1)(2)(2)10.8设双曲线C:y21(a0)与直线l:xy1相交于两个不同的点,则双曲线C的离心率e的取值范围为()A.B(,)C.D.(,)解析:选D由消去y并整理得(1a2)x22a2x2a20.由于直线与双曲线相交于两个不同的点,则1a20a21,且此时4a2(2a2)0a20),则抛物线过点(40,30),从而有3022p40,即2p,所以所求抛物线方程为y2x.虽然选项中没有y2x,但C中的2p符合题意11.我们把离心率为黄金分割系数的椭圆称为“黄金椭圆”如图,“黄金椭圆”C的中心在坐标原点,F为左焦点,A,B分别为长轴和短轴上的顶点,则ABF()A
5、90B60C45D30解析:选A设椭圆的方程为1(ab0)由已知,得A(a,0),B(0,b),F(c,0),则(c,b), (a,b)离心率e,ca,ba,b2ac0,ABF90.12已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|2|FB|,则k()A.BC.D.解析:选D将yk(x2)代入y28x,得k2x2(4k28)x4k20,设A(x1,y1), B(x2,y2),则x1x2,x1x24,抛物线y28x的准线方程为x2,由|FA|2|FB|及抛物线定义得x122(x22),即x122x2,代入x1x24,整理得xx220,解得x21或x22
6、(舍去)所以x14,5,解得k2,又因为k0,所以k.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分请把正确答案填在题中的横线上)13以双曲线1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为_解析:双曲线焦点(4,0),顶点(2,0),故椭圆的焦点为(2,0),顶点(4,0)答案:114已知双曲线1(a0,b0)的一个焦点与抛物线xy2的焦点重合,且双曲线的离心率等于,则该双曲线的方程为_解析:抛物线xy2的方程化为标准形式为y24x,焦点坐标为(1,0),则得a2b21,又e,易求得a2,b2,所以该双曲线的方程为5x2y21.答案:5x2y2115已知二次曲线1,当m2,1时,该曲线的离心率的取值
7、范围是_解析:m2,1,曲线方程化为1,曲线为双曲线,e.m2,1,e.答案:,16设F1,F2分别是椭圆1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|PF1|的最大值为_解析:由椭圆的定义知|PF1|PF2|10,|PF1|10|PF2|,|PM|PF1|10|PM|PF2|,易知M点在椭圆外,连接MF2并延长交椭圆于点P,此时|PM|PF2|取最大值|MF2|,故|PM|PF1|的最大值为10|MF2|1015.答案:15三、解答题(本大题共6小题,共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线
8、1(a0,b0)的一个焦点,并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直,抛物线与双曲线交于点P,求抛物线的方程和双曲线的方程解:依题意,设抛物线的方程为y22px(p0),点P在抛物线上,62p.p2,所求抛物线的方程为y24x.双曲线的左焦点在抛物线的准线x1上,c1,即a2b21,又点P在双曲线上,1,解方程组 得或(舍去)所求双曲线的方程为4x2y21.18(本小题满分12分)已知椭圆1及直线l:yxm,(1)当直线l与该椭圆有公共点时,求实数m的取值范围;(2)求直线l被此椭圆截得的弦长的最大值解:(1)由消去y,并整理得9x26mx2m2180. 36m236(2m218)36(m218
9、)直线l与椭圆有公共点,0,据此可解得3 m3 .故所求实数m的取值范围为3 ,3 (2)设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),由得:x1x2,x1x2,故|AB| ,当m0时,直线l被椭圆截得的弦长的最大值为.19(本小题满分12分)双曲线x21(b0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过F2且与双曲线交于A,B两点(1)若直线l的倾斜角为,F1AB是等边三角形,求双曲线的渐近线方程;(2)设b,若直线l的斜率存在,且()0,求l的斜率解:(1)设A(xA,yA)由题意得F2(c,0),c,yb2(c21)b4,因为F1AB是等边三角形,所以2c|yA|,即4(1b2)
10、3b4,解得b22.故双曲线的渐近线方程为yx.(2)由题意知F1(2,0),F2(2,0)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l:yk(x2),显然k0.由得(k23)x24k2x4k230.因为l与双曲线交于两点,所以k230,且36(1k2)0.设AB的中点为M(xM,yM)由()0即0,知F1MAB,故kF1Mk1.而xM,yMk(xM2),kF1M,所以k1,解得k2,故l的斜率为.20(本小题满分12分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y1相切,圆心C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹E的方程;(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,求|PQ
11、|的最大值解:(1)由题设知点C到点F的距离等于它到l1的距离,所以点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所以所求轨迹的方程为x24y.(2)由题意易知直线l2的斜率存在,又抛物线方程为x24y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|4.当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有x4y1,x4y2,两式作差得xx4(y1y2),即得k,则直线方程为y2(xt),与x24y联立得x22tx2t280.由根与系数的关系得x1x22t,x1x22t28,则|PQ|6,当且仅当t时取等号所以|PQ|的最大值为6.21.(本小题满分12分)已知椭圆1(a
12、b0)的离心率e,过点A(0,b)和B(a,0)的直线与原点的距离为.(1)求椭圆的方程;(2)已知定点E(1,0),若直线ykx2(k0)与椭圆交于C,D两点,问:是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点,请说明理由解:(1)直线AB的方程为:bxayab0.依题意解得椭圆方程为y21.(2)假设存在这样的k值,由得(13k2)x212kx90.(12k)236(13k2)0. 设C(x1,y1),D(x2,y2),则 而y1y2(kx12)(kx22)k2x1x22k(x1x2)4.要使以CD为直径的圆过点E(1,0),当且仅当CEDE时,则1.即y1y2(x11)(x21)0.(k21)
13、x1x2(2k1)(x1x2)50.将式代入整理解得k.经验证k使成立综上可知,存在k,使得以CD为直径的圆过点E.22(本小题满分12分)已知抛物线C1:x24y的焦点F也是椭圆C2:1(ab0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向(1)求C2的方程;(2)若|AC|BD|,求直线l的斜率解:(1)由C1:x24y知其焦点F的坐标为(0,1)因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2b21. 又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x24y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以1. 联立,得a29,b28.故C2的方程为1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)因与同向,且|AC|BD|,所以,从而x3x1x4x2,即x1x2x3x4,于是(x1x2)24x1x2(x3x4)24x3x4. 设直线l的斜率为k,则l的方程为ykx1.由得x24kx40.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1x24k,x1x24. 由得(98k2)x216kx640.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3x4,x3x4. 将代入,得16(k21),即16(k21),所以(98k2)2169,解得k,即直线l的斜率为.