1、33.2函数的极值与导数预习课本P9396，思考并完成以下问题 1函数极值点、极值的定义是什么？2函数取得极值的必要条件是什么？3求可导函数极值的步骤有哪些？1函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极大值，记作y极大值f(x0)，x0是极大值点(2)函数的极小值一般地，设函数yf(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0)，就说f(x0)是函数yf(x)的一个极小值，记作y极小值f(x0)，x0是极小值点极大值与极小值统称为极值点睛如何理
2、解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点(5)单调函数一定没有极值2求函数yf(x)极值的方法一般地，求函数yf(x)的极值的方法是：解方程f(x)0. 当f(x0)0时：(1)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；(2)如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f
3、(x0)是极小值点睛一般来说，“f(x0)0”是“函数yf(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件若可导函数yf(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f(x0)0；反之，若f(x0)0，则点x0不一定是函数yf(x)的极值点1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x3ax2x1必有2个极值()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合()(3)函数f(x)有极值()答案：(1)(2)(3)2下列四个函数：yx3；yx21；y|x|；y2x，其中在x0处取得极小值的是()ABCD答案：B3函数yx36x的极大值为()A4 B3 C3 D4答案：A4
4、. 函数f(x)x2cos x在上的极大值点为()A0 B. C. D.答案：B已知函数求极值典例求函数f(x)x2ex的极值解函数的定义域为R，f(x)2xexx2ex(x)2xexx2exx(2x)ex.令f(x)0，得x(2x)ex0，解得x0或x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极小值0极大值4e2因此当x0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)0；当x2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)4e2.求函数极值和极值点的四步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f(x)0的根；(3)用方程f(x)0的根顺次将
5、函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f(x)在方程f(x)0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 活学活用求下列函数的极值点和极值(1)f(x)x3x23x3；(2)f(x)3ln x.解：(1)f(x)x22x3.令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，1)1(1,3)3(3，)f(x)00f(x)极大值极小值所以x1是函数f(x)的极大值点，且f(x)极大值，x3是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值6.(2)函数f(x)3ln x的定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)，f(x
6、)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值所以x1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值3，无极大值点及无极大值已知函数的极值求参数典例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f(1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解(1)f(x)3ax22bxc(a0)，x1是函数的极值点x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系，得又f(1)1，abc1.由解得a，b0，c.(2)由(1)得f(x)x3x，f(x)x2(x1)(x1)令f(x)0，得x1或x1；令f(x)0，得1x1.函数f(x
7、)在区间(，1)和(1，)上是增函数，在区间(1,1)上是减函数因此，x1是函数的极大值点；x1是函数的极小值点由函数极值求参数值的注意点(1)常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 活学活用已知函数f(x)x3x2ax1.(1)若函数的极大值点是1，求a的值；(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围解：(1)f(x)x22xa，由题意f(1)12a0，解得a3，则f(x)x22x3，经验证可知，f(x)在x1处取得极大值，故a3.(2)由题意，方程x22xa0
8、有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2a0，故a的取值范围是(，0)函数极值的综合应用典例已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围解因为f(x)在x1处取得极值且f(x)3x23a，所以f(1)3(1)23a0，所以a1.所以f(x)x33x1，f(x)3x23，由f(x)0，解得x11，x21.当x0；当1x1时，f(x)1时，f(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3.作出f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有
9、三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1)一题多变1变条件若本例中条件改为“已知函数f(x)x3ax24”在x处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围解：由题意可得f(x)3x22ax，由f0，可得a2，所以f(x)x32x24，则f(x)3x24x.令f(x)0，得x0或x，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，0)0f(x)00f(x)4作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是.2变条件若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m3
10、或m1时，直线ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 层级一学业水平达标1“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C
11、充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B若函数f(x)在xx0处有极值，则一定有f(x0)0；反之，若f(x0)0，则函数f(x)在xx0处不一定有极值所以“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件，选B.2函数f(x)x2ln x的极值点为()A0,1，1 B.C D.，解析：选B由已知，得f(x)的定义域为(0，)，f(x)3x，令f(x)0，得x.当x时，f(x)0；当0x时，f(x)0.所以当x时，f(x)取得极小值从而f(x)的极小值点为，无极大值点，选B.3已知函数yf(x)，其导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)()A在(，0)上为减函数 B在x
12、0处取极小值C在(4，)上为减函数 D在x2处取极大值解析：选C由导函数的图象可知：x(，0)(2,4)时，f(x)0，x(0,2)(4，)时，f(x)0，a6.4设aR，若函数yexax(xR)有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da解析：选Ayexax，yexa.令yexa0，则exa，xln(a)又x0，a1，即a1.5若函数yx36x2m的极大值为13，则实数m等于_解析：y3x212x3x(x4)由y0，得x0或4.且x(，0)(4，)时，y0；x(0,4)时，y0，x4时取到极大值故6496m13，解得m19.答案：196若函数f(x)x3x2ax4在区间(1,1)上恰有一
13、个极值点，则实数a的取值范围为_解析：由题意，f(x)3x22xa，则f(1)f(1)0，即(1a)(5a)0，解得1a0；当x(2，ln 2)时，f(x)0.故f(x)在(，2)，(ln 2，)上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减当x2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(2)4(1e2)8已知函数f(x)(aR，a0)(1)当a1时，求函数f(x)的极值；(2)若函数F(x)f(x)1没有零点，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)，f(x).由f(x)0，得x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2, )f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的极小值为f(2)，函数f(x)无极大值(2)F(x)f(x).当a0，解得ae2，所以此时e2a0时，F(x)，F(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，)F(x)0F(x)极大值当x2时，F(x)11，当x2时，令F(x)10，即a(x1)ex0， 由于a(x1)exa(x1)e2，令a(x1)e20，得x1，即x1时，F(x)0，所以F(x)总存在零点，综上所述，所求实数a的取值范围是(e2,0)