1、第5课时本章复习 教学过程一、 知识梳理1. 集合的含义、表示方法及分类(1) 一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.(2) 集合常用的表示方法:列举法、描述法、Venn图、区间.(3) 集合按元素的个数分为两类:有限集、无限集.2. 集合表示方法之间的转化列举法具体化文字描述法属性描述法符号表示法直观化图示法说明:高中数学解题的关键也是“四化”.3. 集合的基本运算(1) 子集:AB定义为“对任意xA,都有xB”,图示表现为“A在B中包含着”.真子集:AB意味着AB且AB.(2) 集合运算比较:运算类型交集并集补集定义由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的交
2、集,记作AB(读作“A交B”),即AB=x|xA,且xB.由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫做A与B的并集,记作AB(读作“A并B”),AB=x|xA,或xB.设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S的子集A的补集(或余集),记作SA(读作“A在S中的补集”),即SA=x|xS,且xAVenn图性质 AA=A; A=; AB=BA; ABA; ABB. AA=A; A=A; AB=BA; ABA; ABB. (UA)(UB)=U(AB); (UA)(UB)=U(AB); A(UA)=U; A(UA)=.提醒:要特别关注集合问题中空集、元素的互异
3、性及代表元素这三个概念,以防出错.二、 数学运用(一) 集合的有关概念【例1】已知P=y|y=x2+1, Q=x|y=x2+1, M=(x, y)|y=x2+1, N=x|x1,则相等的集合有哪些?(见学生用书课堂本P9)处理建议注意区别代表元素是点集,还是数集.规范板书解 P=1, +), Q=R, N=1, +), P=N.题后反思(1)注意区别集合中的代表元素,“代表元素”实质上是认识和区别集合的核心.代表元素不同,有时即使是同一个表达式,它们所表示的集合也不同,例如:A=x|y=x2=R, B=y|y=x2=0, +), C=(x, y)|y=x2.(2)关键是抓住集合是数集,还是点集
4、.数集是个范围,与用什么字母表示没有关系(例如,虽然E=x|x-3, F=y|y-3,但仍然有E=F),所以用区间来写更容易理解.变式1对于“例1”,PQ=?规范板书解 P=1, +), Q=R, PQ=1, +).变式2已知M=x|x=a2+1, aR, P=y|y=b2-6b+10, bR,问:集合M与集合P之间是什么关系?处理建议转化为区间来表示.规范板书解 M=x|x1=1, +), P=y|y=(b-1)2+1=y|y1=1, +), M=P.(二) 子集及集合运算【例2】(1) 已知A=1, 4, a, B=1, a2,且BA,求A和B;(2) 已知xR, A=-3, x2, x+
5、1, B=x-3, 2x-1, x2+1.如果AB=-3,求AB.(见学生用书课堂本P10)规范板书解(1) 当a2=4时,则a=2或-2,此时A=1, 2, 4或1, -2, 4, B=1, 4,经检验符合题意;当a2=a时,则a=1或0.当a=1时,不合题意;当a=0时,A=0, 1, 4, B=0, 1,符合题意.综上所述,A=1, 2, 4或1, -2, 4时,B=1, 4; A=0, 1, 4时,B=0, 1.(2) 由AB=-3,得x-3=-3或2x-1=-3或x2+1=-3,解得x=0或-1.当x=0时,A=-3, 0, 1, B=-3, -1, 1, AB=-3, 1,不合题意
6、;当x=-1时,A=-3, 1, 0, B=-4, -3, 2,AB=-3,符合题意.综上所述,x=-1.题后反思(1)注意分类讨论;(2)注意检验是否满足集合中元素的互异性.变式已知集合A=a+2, (a+1)2, a2+3a+3,若1A,求实数a的值.处理建议分情况讨论,同时需要注意集合A中元素的互异性.规范板书解 当a+2=1时,a=-1,此时a2+3a+3=1=a+2,故a=-1舍去. 当(a+1)2=1时,a=0或a=-2.当a=-2时,a2+3a+3=1=(a+1)2,故a=-2舍去;当a=0时,a+2=2, a2+3a+3=3,故a=0符合题意. 当a2+3a+3=1时,a=-1
7、或a=-2,由知它们应舍去.综上所述,a=0.(三) 性质“AB=AAB”的应用【例3】已知A=x|ax-1=0, B=x|x2-5x+6=0.若AB=A,求实数a的值,并确定集合A.(见学生用书课堂本P10)处理建议关键要对a进行分析,分a=0和a0两种情况.规范板书解 AB=A, AB.而B=2, 3,(1) 当a=0时,A=B,符合题意;(2) 当a0时,则ax-1=0只有一个实根,而A=x|ax-1=02, 3, A=2或3.当A=2时,求得a=,经检验符合题意;当A=3时,求得a=,经检验符合题意.综上所述,a=0时,A=; a=时,A=2; a=时,A=3.题后反思注意空集的特殊性
8、,空集是任意集合的子集,因此本题需要考虑A=B这一情形.变式已知集合A=x|-2x5, B=x|xm+1,且x2m-1.若AB=A,求实数m的取值范围.处理建议AB=ABA,分析时不要漏掉B=这一情况.规范板书解 AB=A, BA.(1) 若B=,则m+12m-1,即m2.(2) 若B,则解得2m3.综上所述,实数m的取值范围是(-, 3.(四) 集合的综合应用【例4】已知A=x|x2+(m+2)x+1=0, B=正实数,且AB=,试求实数m的取值范围.(见学生用书课堂本P10)处理建议注意分A=和A两类情形.规范板书解因为B=正实数,AB=.所以(1)若A=,则方程x2+(m+2)x+1=0
9、无实数解,所以=(m+2)2-4=m2+4m0,解得-4m0,所以方程有两个负根,所以解得m0.综上所述,实数m的取值范围是m-4.题后反思注意考虑空集的特殊情形及分类讨论思想的应用.变式已知集合P=x|x2-3x+20, S=x|x2-2ax+a0,且SP,求实数a的取值组成的集合A.规范板书解P=x|x2-3x+20=x|1x2.设f(x)=x2-2ax+a,(1) 当=(-2a)2-4a0时,即0a0时,要满足SP,即等价于方程x2-2ax+a=0的两根位于1和2之间,即即即即a无解.综合(1)(2)(3),可得0a1.所以A=a|0a1.三、 补充练习1. 若A=1, 4, x, B=1, x2,且AB=B,则x=0, 2或-2.2. 已知集合A=x|x2-ax+a2-19=0, B=x|x2-5x+6=0, C=x|x2+2x-8=0,且AB, AC=,则实数a的值为-2.提示B=2, 3, C=2, -4,由AB, AC=知3A,所以9-3a+a2-19=0,解得a=-2或a=5,经检验a=5不符合题意.3. 已知A=x|-2x5, B=x|m+1x2m-1,且BA,则实数m的取值范围为m3.提示分B=与B两种情况讨论.四、 课堂小结1. 集合的含义、表示方法及分类.2. 集合之间的(真)包含关系:子集、真子集.3. 集合之间的运算:交集、并集、补集.
