1、复习课(三)导数及其应用导数的概念及几何意义的应用近几年的高考中，导数的几何意义和切线问题是常考内容，各种题型均有可能出现，一般题目难度较小考点精要(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解典例(2017天津高考)已知aR，设函数f(x)axln x的图象在点(1，f(1)处的切线为l，则l在y轴上的截距为_解析由题意可知f(x)a，所以f(1)a1，因为f(1)a，所以切点坐标为(
2、1，a)，所以切线l的方程为ya(a1)(x1)，即y(a1)x1.令x0，得y1，即直线l在y轴上的截距为1.答案1类题通法(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数如果已知点不是切点，则应先出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解(2)曲线与直线相切并不一定只有一个公共点，例如，yx3在(1,1)处的切线l与yx3的图象还有一个交点(2，8)1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1By2x1Cy2x3 Dy2x2解析：选Ay，ky|x12，切线方程为：y12(x1)，即y2x1.2已知曲线yx31与曲线y3x2在xx0处的切
3、线互相垂直，则x0的值为()A. B.C. D.解析：选Dyx31y3x2，y3x2yx，由题意得3x(x0)1，解得x，即x0，故选D.导数与函数的单调性题型既有选择题、填空题也有解答题，若以选择题、填空题的形式出现，则难度以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主，主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性等问题考点精要函数的单调性与导函数值的关系若函数f(x)在(a，b)内可导，则f(x)在(a，b)任意子区间内部不恒等于0.f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递增；f(x)0函数f(x)在(a，b)上单调递减反之，函数f(x)在(a，b)上单调递增f(x)0；函
4、数f(x)在(a，b)上单调递减f(x)0.即f(x)0(f(x)0)是f(x)为增(减)函数的充分不必要条件特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“”连接典例(2017全国卷节选)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.讨论f(x)的单调性解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2ax2a1.若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故f(x)在上单调递增，在上单调递减类题通法求函数的单调区间的方法步骤(1)确定函数f(x)的定义域(2)计算函数f(x)的导数f(x)(3)解不等式f(x)0
5、，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f(x)0，得到函数f(x)的递减区间注意求函数单调区间一定要先确定函数定义域，往往因忽视函数定义域而导致错误1函数f(x)2x2ln x的单调递增区间是()A. B.和C. D.和解析：选C由题意得f(x)4x，且x0，由f(x)0，即4x210，解得x.故选C.2已知函数f(x)x22xaex.(1)若a1，求f(x)在x1处的切线方程；(2)若f(x)在R上是增函数，求实数a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)x22xex，则f(1)1221ee，f(x)x2ex，f(1)12e1e，故曲线yf(x)在x1处的切线方程为y(1e)(x1)，即y(1
6、e)x.(2)f(x)在R上是增函数，f(x)0在R上恒成立，f(x)x22xaex，f(x)x2aex，于是有不等式x2aex0在R上恒成立，即a在R上恒成立，令g(x)，则g(x)，令g(x)0，解得x3，列表如下：x(，3)3(3，)g(x)0g(x)故函数g(x)在x3处取得极小值，亦即最小值，即g(x)min，所以a，即实数a的取值范围是.导数与函数的极值、最值从高考运用情况看，利用导数研究函数极值、最值是导数应用的核心部分，年年高考都有考查，多以解答题形式考查，难度相对较大考点精要1导数与函数单调性、极值的关系(1)f(x)0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的充
7、分不必要条件(2)对于可导函数f(x)，f(x0)0是函数f(x)在xx0处有极值的必要不充分条件2利用导数求函数极值应注意三点(1)求单调区间时应先求函数的定义域，遵循定义域优先的原则；(2)f(x0)0时，x0不一定是极值点；(3)求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时应分类讨论典例(2017北京高考)已知函数f(x)ex cos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(
8、0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.类题通法1求函数的极值的方法(1)确定函数的定义区间，求导数f(x)(2)求方程f(x)0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那
9、么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值2求函数的最值的方法(1)求f(x)在(a，b)内的极值(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最值1函数f(x)13xx3()A有极小值，无极大值 B无极小值，有极大值C无极小值，无极大值 D有极小值，有极大值解析：选Df(x)3x23，由f(x)0，得x1.当x(1,1)时，f(x)0，f(x)的单调增区间为(1,1)；同理，f(x)的单调减区间为(，1)和(1，)当x1时，函数有极小值1，当x1时，函数有极大值3，故选D.2已知函数f(x)(x1)，(1)试判
10、断函数f(x)的单调性，并说明理由；(2)若f(x)恒成立，求实数k的取值范围解：(1)f(x)，x1，ln x0，f(x)0.故函数f(x)在1，)上单调递减(2)x1，f(x)k，令g(x)，g(x).再令h(x)xln x，则h(x)1.x1，则h(x)0，h(x)在1，)上单调递增h(x)minh(1)10，从而g(x)0，故g(x)在1，)上单调递增，g(x)ming(1)2，k2.故实数k的取值范围为(，2.生活中的优化问题优化问题是导数在实际生活中的应用之一，高考中有所体现，既可以以小题形式考查，也可以解答题形式考查，难度中低档考点精要解答思路典例某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水
11、池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000 元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又据题意知200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r0，又由h0可得r5
12、，故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大类题通法利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域(2)
13、求方程f(x)0的所有实数根(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值1书店预计一年内要销售某种书15万册，欲分几次订货，如果每次订货要付手续费30元，每千册书存放一年要耗库存费40元，并假设该书均匀投放市场，问此书店分_次进货、每次进_册，可使所付的手续费与库存费之和最少解析：设每次进书x千册(0x150)，手续费与库存费之和为y元，由于该书均匀投放市场，则平均库存量为批量一半，即，故有y3040，y20，当0x15时，y0，当15x150时，y0.故当x15时，y取得最小值，此时进货次数为10(次)即该书店分10次进货，每次进15 000
14、册书，所付手续费与库存费之和最少答案：1015 0002一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小？解：设轮船速度为x(x0)千米/时的燃料费用为Q元，则Qkx3，由6k103，可得k.Qx3.总费用yx2.y.令y0，得x20.当x(0,20)时，y0，此时函数单调递减，当x(20，)时，y0，此时函数单调递增当x20时，y取得最小值，此轮船以20千米/时的速度行驶每千米的费用总和最小1下面求导运算正确的是()A(2x)2xlog2eB(x3sin
15、 x)3x2cos xC.D(xlog3x)1解析：选D(2x)2xln 2，(x3sin x)3x2sin xx3cos x，(xlog3x)1，所以选D.2已知函数f(x)x3x2cxd有极值，则c的取值范围为()AcBcCc Dc解析：选A由题意得f(x)x2xc，若函数f(x)有极值，则14c0，解得c.3已知函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选B因为函数f(x)2x3ax236x24在x2处有极值，又f(x)6x22ax36，所以f(2)0解得a15.令f(x)0，解得x3或x2，所以函数
16、的一个递增区间是(3，)4已知f(x)3x2ln x，则li ()A7 B.C21 D21解析：选Cf(x)6x，li 3li 3f(1)21.5函数yln xx在x(0，e上的最大值为()Ae B1C1 De解析：选C函数yln xx的定义域为(0，)，又y1，令y0得x1，当x(0,1)时，y0，函数单调递增；当x(1，e)时，y1”的否定是()Ax0R,2x031BxR,2x31CxR,2x31 Dx0R,2x031解析：选C由特称命题的否定的定义即知2函数y的图象在点(1，1)处的切线的方程是()Axy20 B2x2y30Cxy0 Dxy0解析：选Ay，y，y在点(1，1)处的切线的斜
17、率为1，切线的方程为y(1)x1，即xy20，故选A.3抛物线yax2的准线方程是y2，则a的值为()A. BC8 D8解析：选B由yax2得x2y，8，a.4下列说法中正确的是()A一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B“ab”与“acbc”不等价C“a2b20，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2b20”D一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.5已知甲：a，b，c成等差数列；乙：2.则甲是乙的()A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A若2，则ac2b，由此可
18、得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得ac2b，但不一定得出2，如a1，b0，c1.所以甲是乙的必要不充分条件，故选A.6双曲线1(mn0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A. B.C. D.解析：选A抛物线y24x的焦点为F(1,0)，故双曲线1中，m0，n0且mnc21.又双曲线的离心率e 2，联立方程，解得故mn.7下列命题的否定是真命题的是()A存在向量m，使得在ABC中，m且mB对所有正实数x，都有x2C对所有第四象限的角，都有sin 0，所以x22，当且仅当x，即x1时等号成立，所以B是真命题，其否定是假命题；C中，由于第四象限
19、角的正弦值是负数，所以C是真命题，其否定是假命题；D中，对于幂函数f(x)x，均有f(1)1，所以幂函数的图象均经过点(1,1)，所以D是假命题，其否定是真命题故选D.8.函数f(x)ax3bx2cxd的图象如图，则函数yax2bx的单调递增区间是()A(，2 B.C2,3 D.解析：选D由题图可知d0.不妨取a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知f(2)0，f(3)0，124bc0,276bc0，b，c18.yx2x6，y2x. 当x时，y0，yx2x6的单调递增区间为.故选D.9已知F1(3,0)，F2(3,0)是椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，F1PF2.当时，F
20、1PF2面积最大，则mn的值是()A41 B15C9 D1解析：选B由SF1PF2|F1F2|yP3yP，知P为短轴端点时，F1PF2面积最大此时F1PF2，得a2 ，b，故mn15.10已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A. B.C. D.解析：选A由题意得解得|F2A|2a，|F1A|4a，又由已知可得2，所以c2a，即|F1F2|4a，cosAF2F1.故选A.11若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析：选B由2xln xx2ax3，得a2l
21、n xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0,1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，412定义在R上的函数f(x)满足：f(x)f(x)恒成立，若x1x2，则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()Aex1f(x2)ex2f(x1)Bex1f(x2)ex2(x1)Cex1f(x2)ex2f(x1) Dex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选A设g(x)，则g(x)，由题意g(x)0，所以g(x)单调递增，当x1x2时，g(
22、x1)g(x2)，即，所以ex1f(x2)ex2f(x1)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分请把正确答案填在题中的横线上)13已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_解析：因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.答案：314命题“x0R,2x3ax090”为假命题，则实数a的取值范围是_解析：x0R,2x3ax090为假命题，xR,2x23ax90为真命题，9a24290，即a28，2a2.答案：2，2 15若双曲线1(a0，b0)的渐近线与抛物线x24y的准线所围成的三角形的面积为2
23、，则该双曲线的离心率为_解析：依题意，得双曲线的渐近线方程是yx，抛物线的准线方程是y1，因此所围成的三角形的三个顶点坐标分别是，(0,0)，该三角形的面积等于212，因此该双曲线的离心率e.答案：16某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价为p元，销量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2，则该商品零售价定为_元时利润最大，利润的最大值为_元解析：设商场销售该商品所获利润为y元，则y(p20)(8 300170pp2)p3150p211 700p166 000(p20)，则y3p2300p11 700.令y0得p2100p3 9000，解得p
24、30或p130(舍去)则p，y，y变化关系如下表：p(20,30)30(30，)y0y极大值故当p30时，y取极大值为23 000元又yp3150p211 700p166 000在20，)上只有一个极值，故也是最值所以该商品零售价定为每件30元，所获利润最大为23 000元答案：3023 000三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)已知命题p：方程1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：xR,4x24mx4m30.若(綈p)q为真，求m的取值范围解：p真时，m2.q真时，4x24mx4m30在R上恒成立16m216(4m3)0，解
25、得1m3.(綈p)q为真，p假，q真即1m2.所求m的取值范围为1,218(本小题满分12分)已知抛物线C：x22py(p0)上一点M(m,4)到其焦点的距离为5.(1)求抛物线C的方程；(2)若过点M的双曲线1(a0，b0)的一个顶点为抛物线C的焦点，求该双曲线的渐近线方程解：(1)由抛物线的定义可得45，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)把M(m,4)代入x24y可得m4，所以M点的坐标为(4,4)，抛物线x24y的焦点为(0,1)，a1，双曲线的方程为y21(b0)，代入M(4,4)得b2，b，双曲线的渐近线方程为yx，即为yx.19(本小题满分12分)已知a2，函数f(x)
26、(x2axa)ex.(1)当a1时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)的极大值是6e2，求a的值解：(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，则f(x)(x23x2)ex.由f(x)0得x23x20，即x1或x2，所以函数的单调递增区间为(，2和1，)(2)f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(a2)x2aex.由f(x)0得x2或xa，因为a2，所以a2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以x2时f(x)取得极大值，即(42aa)e26e2，所以a2.20(本小题满分12分)已知椭圆C：x22y
27、24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解：(1)由题意，得椭圆C的标准方程为1，所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0x4)，当且仅当x4时等号成立，所以|AB|28.故线段AB长度的最小值为2.21(本小题满分12分)设椭圆E：1(a0)的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦
28、距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上的第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上解：(1)因为a21a2,2c1，a21a2c2，则a2，所以椭圆E的方程为1.(2)证明：设F1(c,0)，F2(c,0)，P(x，y)，Q(0，m)，则(xc，y)，(c，m)，(xc，y)，(c，m)由，得 所以(xc)(xc)y2，即x2y2c2.由椭圆E的方程可知，c2a2(1a2)2a21，所以x2y22a21, 即y2x22a21.将上式代入椭圆E的方程，得1，解得x2a4.因为点P是第一象限内的点，所以xa
29、2，y1a2.故点P在定直线xy1上22(本小题满分12分)已知函数f(x)ex2x23x.(1)求证：函数f(x)在区间0,1上存在唯一的极值点(2)当x时，若关于x的不等式f(x)x2(a3)x1恒成立，试求实数a的取值范围解：(1)证明：f(x)ex4x3，f(0)e0320，f(0)f(1)0，f(x)在区间0,1上单调递增，f(x)在区间0,1上存在唯一零点，f(x)在区间0,1上存在唯一的极小值点(2)由f(x)x2(a3)x1，得ex2x23xx2(a3)x1，即axexx21，x，a.令g(x)，则g(x).令(x)ex(x1)x21，则(x)x(ex1)x，(x)0.(x)在上单调递增(x)0.因此g(x)0，故g(x)在上单调递增，则g(x)g2，a的取值范围是.