1、第一部分 专题六 第3讲1.已知直线l：kxy20，双曲线C：x24y24，当k为何值时：（1)l与C无公共点；（2)l与C有唯一公共点；（3)l与C有两个不同的公共点.解析：将直线与双曲线方程联立消去y，得（1-4k2)x2-16kx-200.当1-4k20时，有=（-16k)2-4（1-4k2)（-20)16（5-4k2).（1)当1-4k20且0时，即k时，l与C无公共点.（2)当1-4k20，即k时，显然方程只有一解.当0时，即k时，方程只有一解.故当k或k时，l与C有唯一公共点.（3)当1-4k20，且0时，即且k时，方程有两解，l与C有两个公共点.2已知椭圆C：离心率e=,过右焦点
2、F1作与坐标轴垂直的弦且弦长为.(1)求椭圆的标准方程.(2)若直线l:y=-x+m与椭圆C交于A,B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时，求F1AB的面积.解析：(1)由题意得 , 解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是.(2)由 , 可得3x2-4mx+2m2-2=0,则=(-4m)2-12(2m2-2)0,即m23,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=, x1x2=.则AB的中点的横坐标为,则以AB为直径的圆的半径为,由条件可得.整理可得(x1+x2)2=8x1x2,即,所以m2=0恒成立,故f (t)为增函数,从而f (t)maxf (4)192,即SPAB的最大值为
3、24,相应的y1的值为0或-8.5.已知椭圆C的离心率为，点(2,)在C上.（1）求C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A,B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.解析：（1）由题意有,解得a2=8,b2=4.所以C的方程为.(2)设直线l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=.于是直线OM的斜率kOM=,即kOMk=.所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.6(2016河北石家庄一模)在平面直角坐标系xOy
4、中，一动圆经过点且与直线x相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设P是曲线E上的动点，点B，C在y轴上，PBC的内切圆的方程为(x1)2y21，求PBC面积的最小值解析：(1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y22x.(2)设P(x0，y0)(x00)，B(0，b)，C(0，c)，则直线PB的方程为(y0b)xx0yx0b0，又圆心(1,0)到直线PB的距离为1，所以1，整理得(x02)b22y0bx00，同理可得(x02)c22y0cx00，所以b，c是方程(x02)x22y0xx00的两根，所以bc，bc，依题意知bc2，
5、则(bc)2(bc)24bc，因为y2x0，所以|bc|，所以SPBC|bc|x0(x02)48，当且仅当x04时上式取等号，所以PBC面积的最小值为8.7在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若|MF|=2，求点M的坐标；(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积;(3)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPOQ.解析：(1)双曲线C:,左焦点.设M(x,y),则|MF|2=,由M点是右支上一点,知,所以|MF|=.所以.(2)左顶点,渐近线方程:
6、.过点A与渐近线y=x平行的直线方程为.解方程组 ,得 所求平行四边形的面积为S=|OA|y|=.(3)证明:设直线PQ的方程是y=kx+b.因直线PQ与已知圆相切,故,即b2=k2+1.(*)由 得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 又y1y2=(kx1+b)(kx2+b),8(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且右焦点F(c,0)到直线l：x的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程解析：(1)由题意，得且c3，解得a，c1，则b1，所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时，AB，又CP3，不合题意当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1,2，C的坐标为，且AB.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与直线l平行，不合题意从而k0，故直线PC的方程为y，则P点的坐标为，从而PC.因为PC2AB，所以，解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.
