1、32导数的计算3.2.1几个常用函数的导数 32.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)内容标准学科素养1.能根据定义求函数yc，yx，yx2，y，y的导数2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.应用数学抽象提高数学运算授课提示：对应学生用书第56页基础认识知识点一几个常用函数的导数导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度那么，对于函数yf(x)，如何求它的导数呢？下列函数的导数是什么？(1)f(x)c；(2)f(x)x；(3)f(x)x2；(4)f(x)；(5)f(x).提示：由导数的定义得(1)f(x) 00；(2)f(x)
2、 1；(3)f(x) (x2x)2x；(4)f(x) ；(5)f(x) . 知识梳理几个常用函数的导数原函数导函数f(x)cf(x)0f(x)xf(x)1f(x)x2f(x)2xf(x)f(x)f(x)f(x)知识点二基本初等函数的导数公式知识梳理为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表.原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)axf(x)axln_a(a0)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)f(x)ln xf(x)自我检测求下列
3、函数的导数：(1)f(x)；(2)g(x)cos；(3)h(x)3x.答案：(2)g(x)cos ，g(x)0；(3)h(x)3xln 3.授课提示：对应学生用书第57页探究一利用导数公式求函数的导数阅读教材P83例1假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?题型：基本初等函数的导数方法步骤：根据导数的几何意义，上涨速度就是导数利用导数公式表求出p(t)再求出p(10)就是第10个年头的上涨速度例
4、1求下列函数的导数：(1)y10x；(2)ylg x；(4)y；(5)y21.解析(1)y(10x)10xln 10.(2)y(lg x).(5)y21sin22sin cos cos21sin x，y(sin x)cos x.方法技巧1.若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式，则直接利用公式求导2若给出的函数解析式不符合导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导跟踪探究1.(1)yx；(2)yx；(3)ylg 5；(4)y3lg；(5)y2cos21.解析：(1)yxlnex.(2)yxln10xln 10.(3)ylg 5是常数函数，y(lg
5、5)0.(4)y3 lglg x，y(lg x).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x.探究二利用导数公式求曲线的切线方程教材P82探究改编求曲线y在(1,1)处的切线方程解析：yx1，yx2，y|x11，曲线y在(1,1)处的切线方程为y1(x1)，即yx2.例2(1)求过曲线ysin x上点P且与在这点处的切线垂直的直线方程解析ysin x，ycos x，曲线在点P处的切线斜率是：y|xcos .过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.(2)设P是曲线yex上任意一点，求点P到直线yx的最小距离解析：如图，设l是与直线yx平行，且与曲线ye
6、x相切的直线，则切点到直线yx的距离最小设与直线yx平行的直线l与曲线yex相切于点P(x0，y0)因为yex，所以ex01，所以x00.代入yex，得y01，所以P(0,1)所以点P到直线yx的最小距离为.方法技巧解决有关切线问题的关注点(1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的条件可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系(2)准确利用求导公式求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准确(3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点跟踪探究2.已知曲线方程为yf(x)x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程解析
7、：设切点P的坐标为(x0，x)yx2，y2x，kf(x0)2x0，切线方程为yx2x0(xx0)将点B(3,5)代入上式得5x2x0(3x0)，即x6x050，(x01)(x05)0，x01或x05.切点坐标为(1,1)或(5,25)所求切线方程为y12(x1)或y2510(x5)，即2xy10或10xy250.授课提示：对应学生用书第58页课后小结(1)利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归(2)有些函数可先化简再应用公式求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)
8、sin x.(3)对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化素养培优1未能区分好变量与常量而致错求f(x)cos a的导数易错分析很容易忽视a是常数自我纠正f(x)(cos a)0.2没有意识到切点也在曲线上致误过原点作曲线yex的切线，则切点坐标为_易错分析设切点P(x0，y0)，则y|xx0ex0，从而ex0，y0x0ex0，所以切点坐标为(x0，x0ex0)该解法没有意识到切点也在曲线上致误考查逻辑推理及数学运算的学科素养自我纠正yex，设切点为(x0，y0)，则y0ex0，则切线方程为yex0ex0(xx0)，由于原点在切线上，则ex0ex0(x0)x01，y0ex0e，即切点为(1，e)答案(1，e)