1、第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号定点问题5定值问题1,2,4,6存在性问题1,3,5,7,81.导学号 38486189(2017长春市二模)已知抛物线C:y2=2px(p0)与直线x-y+4=0相切.(1)求该抛物线的方程;(2)在x轴正半轴上,是否存在某个确定的点M,过该点的动直线l与抛物线C交于A,B两点,使得+为定值.如果存在,求出点M的坐标;如果不存在,请说明理由.解:(1)联立方程组有y2-2py+8p=0,由于直线与抛物线相切,得=8p2-32p=0,p=4,所以y2=8x.(2)假设存在满足条件的点M(m,0)(m0),直线l:x=ty+m,有所以y
2、2-8ty-8m=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),有y1+y2=8t,y1y2=-8m,|AM|2=(x1-m)2+=(t2+1) ,|BM|2=(x2-m)2+=(t2+1),+=+=()=,若为常数,对于任意的tR,只有4t2+m是t2+1的4倍,所以m=4,当m=4时,+为定值,所以M(4,0).2.导学号 38486190(2017四川广元市一模)已知椭圆E:+=1(ab0)经过点P(2,),一个焦点为F(2,0).(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A,B两点,O为坐标原点,椭圆E的离心率为e,若kOAkOB=e2-1.求证:AOB的面积为定值.
3、(1)解:由题意知,c=2,b2=a2-4,代入P点的坐标得+=1,解得a2=8,所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:e=,所以kOAkOB=e2-1=-,将y=kx+m代入+=1.化得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0.记A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,因为kOA=,kOB=,所以=-,所以y1y2=-x1x2=,而y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=+km()+m2=,所以m2=4k2+2,设点O到直线AB的距离为d,则d=,而|AB|=,代入m2=4k2+2得|AB|=,所以SAOB=2,所以AOB的
4、面积为定值2.3.导学号 38486191(2017渭南市一模)已知椭圆C:+=1(ab0),其焦距为2,点P(1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)是否存在与椭圆C交于A,B两点的直线l:y=mx+t(mR),使得=0成立?若存在,求出实数t的取值范围,若不存在,请说明理由.解:(1)由椭圆C的焦距2c=2,解得c=1,因为点P(1,)在椭圆C上,所以+=1,解得a2=4,b2=a2-1=3,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得(3+4m2)x2+8tmx+4t2-12=0.=(8tm)2-4(3+4m2)(4t2-12)0,化简得3+
5、4m2t2.x1+x2=,x1x2=,(*)假设=0成立,则x1x2+y1y2=0,x1x2+(mx1+t)(mx2+t)=0,(1+m2) x1x2+tm(x1+x2)+t2=0,将(*)代入,化简得7t2=12+12m2.代入3+4m2t2中得t2.又因为7t2=12+12m212,所以t2,即t,或t-.所以存在实数t,使得=0成立,实数t的取值范围为(-,-,+).4.导学号 38486192已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,直线l:y=3与C交于A,B两点,l与y轴交于点N,且AFB=120.(1)求抛物线C的方程;(2)当0p0)的焦点为F(0,),准线方程为y=-.直
6、线y=3与y轴交于点N,即N(0,3).当0p6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=3-.由AFB=120,得|FA|=2|FN|,即有3+=2(3-),解得p=2,即抛物线的方程为x2=4y.当p6时,由抛物线的定义可得|FA|=3+,|FN|=-3.由AFB=120,得|FA|=2|FN|,即有3+=2(-3),解得p=18,即抛物线的方程为x2=36y.综上可得,抛物线方程为x2=4y或x2=36y.(2)由(1)知当0p0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, x1x2=, 若APF=BPF,则kAP+kBP=0,即+=0,即k(x1-1)(x2-x0)+
7、(x2-1)(x1-x0)=k2x1x2-(1+x0)(x1+x2)+2x0=0,代入,整理得k(x0-4)=0,因为kR,所以x0=4;即在x轴上存在点P(4,0),使得APF=BPF.6.导学号 38486194(2017汉中市质量检测)已知直线l:y=x+,圆O:x2+y2=5,椭圆E:+=1(ab0)的离心率e=,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.(1)求椭圆E的方程;(2)过圆O上任意一点P(x0,y0)(x0,y0)作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点,求证:这两直线斜率之积为定值.(1)解:设椭圆半焦距为c,圆心O到l的距离d=,则l被圆O截得的弦长为2=2,所以b=
8、.由题意得又b=,所以a2=3,b2=2,所以椭圆E的方程为+=1.(2)证明:设过P(x0,y0)的直线与椭圆E的切线l0的方程为y-y0=k(x-x0),整理得y=kx+y0-kx0,联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得2kx+(y0-kx0)2+3x2-6=0,整理得(3+2k2)x2+4k(y0-kx0)x+2(kx0-y0)2-6=0,因为l0与椭圆E相切,所以=4k(y0-kx0)2-4(3+2k2)2(kx0-y0)2-6=0,整理得(2-)k2+2x0y0k-(-3)=0,设与椭圆E分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-.因为点P在圆O上,所以+=5,
9、所以k1k2=-=-1.所以这两条直线斜率之积为-1.7.导学号 38486195(2017郑州市三模)已知F1,F2分别为椭圆C1:+=1(ab0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|=.(1)求椭圆的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB取一点Q,满足:=-,=(0且1),探究是否存在一条直线使得点Q总在该直线上,若存在求出该直线方程.解:(1)由C2:x2=4y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x0,所以|m|+在(,+)上单调递增,所以+=,所以(d1+d2)d34.当k=0时,四边形F1F2QP为矩形,此时d1=d2=,d3=2,所以(d1+d2)d3=22=4.综合可知,(d1+d2)d3存在最大值,最大值为4.