1、第2节综合法、分析法、反证法最新考纲1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；2.了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点.知 识 梳 理1.直接证明内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明.我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框图表示文字语言因为所以或由得要证只需证即证2.间接证明间接
2、证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义：在假定命题结论反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法.(2)用反证法证明的一般步骤：反设假设命题的结论不成立；归谬根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；结论断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.微点提醒1.分析法是执果索因，实际上是寻找使结论成立的充分条件；综合法是由因导果，就是寻找已知的必要条件.2.综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是间接证明的方法.3.用反
3、证法证题时，首先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况，然后推出矛盾，矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(2)用反证法证明结论“ab”时，应假设“aQ B.PQC.PQ，只需P2Q2，即2a1322a132，只需a213a42a213a40.因为4240成立，所以PQ成立.故选A.答案A4.(2019南昌月考)对于任意角，化简cos4 sin4 ()A.2sin B.2cos C.sin 2 D.cos 2解析因为cos4 sin4 (cos2 si
4、n2 )(cos2 sin2 )cos2 sin2 cos 2，故选D.答案D5.(2019汉中调研)若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是()A.ac2abb2C.解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B6.(2019合肥月考)下列条件：ab0，ab0，b0，a0，b0成立，即a，b不为0且同号即可，故能使2成立.答案考点一综合法的应用典例迁移【例1】 (经典母题)设a，b，c均为正数，且abc1，证明：(1)abbcca；(2)1.证明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，得a2b2c2abbc
5、ca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1，所以3(abbcca)1，即abbcca，当且仅当“abc”时等号成立.(2)因为b2a，c2b，a2c，当且仅当“a2b2c2”时等号成立，故(abc)2(abc)，则abc.所以1.【迁移探究】 本例的条件不变，证明a2b2c2.证明因为abc1，所以1(abc)2a2b2c22ab2bc2ac，因为2aba2b2，2bcb2c2，2aca2c2，所以2ab2bc2ac2(a2b2c2)，所以1a2b2c22(a2b2c2)，即a2b2c2.规律方法1.综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻
6、辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性.2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.【训练1】 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin Bsin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b.证明(1)由已知得sin AsinBsin Bsin C2sin2 B，因为sin B0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac2b，即a，b，c成等差数列.(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以，即5
7、a3b.考点二分析法【例2】 已知a0，证明：a2.证明要证a2，只要证2a.因为a0，故只要证，即a244a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立.规律方法分析法的证明思路：先从结论入手，由此逐步推出保证此结论成立的充分条件，而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证.【训练2】 已知a5，求证：.证明要证，只需证，只需证()2()2，只需证2a522a52，只需证，只需证a25aa25a6，只需证06，因为06恒成立，所以成立.考点三反证法【例3】 设an是公比为q的等比数列.(1)推导an的前
8、n项和公式；(2)设q1，证明：数列an1不是等比数列.(1)解设an的前n项和为Sn，则Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn1a1qn，两式相减得(1q)Sna1a1qna1(1qn)，当q1时，Sn，当q1时，Sna1a1a1na1，所以Sn(2)证明假设数列an1是等比数列，则(a11)(a31)(a21)2，即a1a3a1a31a2a21，因为an是等比数列，公比为q，所以a1a3a，a2a1q，a3a1q2，所以a1(1q2)2a1q，即q22q10，(q1)20，q1，这与已知q1矛盾，所以假设不成立，故数列an1不是等比数列.规律方法1.适用范围：当一个
9、命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法来证.2.关键：在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.【训练3】 若f(x)的定义域为a，b，值域为a，b(a2)，使函数h(x)是区间a，b上的“四维光军”函数？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由.解(1)由题设得g(x)(x1)21，其图象的对称轴为x1，区间1，b在对称轴的右边，所以函数在区间1，b上单调递增.由“四维光军”函数的定义可知，g(1)1，g(b)b，则b2bb，解得b1或b3.因为b1，所以b3.(2)假设
10、函数h(x)在区间a，b(a2)上是“四维光军”函数，因为h(x)在区间(2，)上单调递减，所以有即解得ab，这与已知矛盾.故不存在常数a，b(a2)使函数h(x)是a，b上的“四维光军”函数.思维升华分析法和综合法各有优缺点.分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考.实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来.易错防范1.用分析法证明时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即证”“只需证”等，逐步分析，直到一个明显成立的结论.2.在使用反证法证明数学命题时，反设必
11、须恰当，如“都是”的否定是“不都是”“至少一个”的否定是“不存在”等.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.下列表述：综合法是由因导果法；综合法是顺推法；分析法是执果索因法；分析法是逆推法；反证法是间接证法.其中正确的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个解析由定义可知都正确，选D.答案D2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60”时，应假设()A.三个内角都不大于60B.三个内角都大于60C.三个内角至多有一个大于60D.三个内角至多有两个大于60解析“至少有一个”的否定是“一个都没有”，故可以理解为都大于60.答案B3.在ABC中，sin Asin Ccos
12、 Acos C，则ABC一定是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由sin Asin C0，即cos(AC)0，所以AC是锐角，从而B，ABC必是钝角三角形.故选C.答案C4.分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明2 B.x24C.x20 D.x21解析因为x0，所以要证1，只需证()2，即证00，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立.故选C.答案C5.若0，则下列结论不正确的是()A.a2b2 B.abb2C.ab|ab|解析ab.a2b2，abb2，ab40，2.答案28.若二次函数f(x)4x22(p2)x2p2p1，在区间1，1内至少存在一点c，使
13、f(c)0，则实数p的取值范围是_.解析若二次函数f(x)0在区间1，1内恒成立，则解得p3或p，故满足题干要求的p的取值范围为.答案三、解答题9.已知x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，求证：8.证明因为x，y，z是互不相等的正数，且xyz1，所以1，1，1，由，得8.10.设数列an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列Sn是等比数列，则SS1S3，即a(1q)2a1a1(1qq2)，因为a10，所以(1q)21qq2，即q0，这与公比q0矛盾，所以数列Sn不是等比数列.(2)解当q1时，Snn
14、a1，故Sn是等差数列；当q1时，Sn不是等差数列，否则2S2S1S3，即2a1(1q)a1a1(1qq2)，得q0，这与公比q0矛盾.综上，当q1时，数列Sn是等差数列；当q1时，数列Sn不是等差数列.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.已知函数f(x)，a，b是正实数，Af，Bf()，Cf，则A，B，C的大小关系为()A.ABC B.ACBC.BCA D.CBA解析因为，又f(x)在R上是减函数，所以ff()f.答案A12.(2019武汉模拟)已知a，b，cR，若1且2，则下列结论成立的是()A.a，b，c同号B.b，c同号，a与它们异号C.a，c同号，b与它们异号D.b，c同号，a与
15、b，c的符号关系不确定解析由1知与同号，若0且0，不等式2显然成立，若0且0，0，22，即0且0，即a，b，c同号.故选A.答案A13.(2018上饶模拟)设a，b是两个实数，给出下列条件：ab1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件序号是_.解析若a，b，则ab1，但a1，b2，故推不出；若a2，b3，则ab1，故推不出；对于，即ab2，则a，b中至少有一个大于1，下面用反证法证明：假设a1且b1，则ab2与ab2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.答案14.ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：.证明要证，即证3也就是1，只需证c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证c2a2acb2，又ABC三内角A，B，C成等差数列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.