1、 (1)机械能守恒的条件的理解及判断方法；(2)机械能守恒定律的三种表达形式；(3)多个物体机械能守恒。例 1(2019全国 II 卷18)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 E 总等于动能 Ek与重力势能 Ep之和。取地面为重力势能零点，该物体的 E 总和 Ep随它离开地面的高度 h 的变化如图所示。重力加速度取 10 m/s2。由图中数据可得()A物体的质量为 2 kg Bh0 时，物体的速率为 20 m/s Ch2 m 时，物体的动能 Ek40 J D从地面至 h4 m，物体的动能减少 100 J【解析】Eph 图像知其斜率为 G，故 G20 N，解得 m2 kg，A 正确；h0 时，E
2、p0，EkE 机Ep100 J0100 J，故12mv2100 J，解得 v10 m/s，B 错误；h2 m 时，Ep40 J，EkE 机Ep85 J40 J45 J，C 错误；h0 时，EkE 机Ep100 J0100 J，h4 m 时，EkE 机Ep80 J80 J0，故 EkEk100 J，D 正确。【答案】AD【点睛】本题考查动能、重力势能、机械能的概念和动能定理的应用，以及利用数形结合处理物理问题的能力，体现了能量观念和科学推理的核心素养，同时还体现了图像展示物理关系的形式美。小题必练 10：机械能守恒定律及其应用 1不计空气阻力，下列运动的物体中机械能不守恒的是()A起重机吊起物体
3、匀速上升 B物体做平抛运动 C圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动 D一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上上下振动(以物体和弹簧整体为研究对象)【答案】A【解析】起重机吊起物体匀速上升，物体的动能不变而势能增加，故机械能不守恒，A 项正确；物体做平抛运动，只有重力做功，机械能守恒，B 项错误；圆锥摆球在水平面内做匀速圆周运动，没有力做功，机械能守恒，C 项错误；一个轻质弹簧上端固定，下端系一个重物，重物在竖直方向上上下振动，只有重力和弹力做功，机械能守恒，D 项错误。2(多选)一物体静止在水平地面上，在竖直向上的拉力 F 作用下开始向上运动，如图甲所示。在物体向上运动过程中，其机
4、械能 E 与位移 x 的关系图像如图乙所示(空气阻力不计)，已知曲线上点 A 处的切线斜率最大，则()A在 x1处物体所受拉力最大 B在 x1x2过程中，物体的动能先增大后减小 C在 x2处物体的速度最大 D在 x1x2过程中，物体的加速度先增大后减小【答案】AB【解析】由题图可知，x1处物体图像的斜率最大，说明此时机械能变化最快，由 EFx 可知此时所受的拉力最大，故 A 正确；x1x2过程中，图像的斜率越来越小，则说明拉力越来越小，x2时刻图像的斜率为零，说明此时拉力为零，在这一过程中物体应先加速后减速，说明最大速度一定不在 x2处，故 B 正确，C 错误；由图像可知，在 x1x2过程中，
5、拉力逐渐减小，直到变为零，则物体受到的合力应先减小到零，后反向增大，故加速度应先减小，后反向增大，故 D 错误。3(多选)如图所示，有一光滑轨道 ABC，AB 部分为半径为 R 的14圆弧，BC 部分水平，质量均为 m 的小球 a、b 固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为 R，不计小球大小。开始时 a 球处在圆弧上端 A 点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是()Aa 球下滑过程中机械能保持不变 Ba、b 两球和轻杆组成的系统在下滑过程中机械能保持不变 Ca、b 滑到水平轨道上时速度为 2gR D从释放到 a、b 滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对 a 球做的功为12mgR【答
6、案】BD【解析】由机械能守恒的条件得，a 球机械能不守恒，a、b 系统机械能守恒，所以 A 项错误，B 项正确；对 a、b 系统由机械能守恒定律得 mgR2mgR212mv2，解得 v 3gR，C 项错误；对 a 由动能定理得 mgRW12mv2，解得 W12mgR，D 项正确。4如图所示是某公园设计的一种惊险刺激的娱乐设施。管道除 D 点右侧水平部分粗糙外，其余部分均光滑。若挑战者自斜管上足够高的位置滑下，将无能量损失的连续滑入第一个、第二个圆管轨道 A、B 内部(圆管 A 比圆管 B 高)。某次一挑战者自斜管上某处滑下，经过第一个圆管轨道 A 内部最高位置时，对管壁恰好无压力。则这名挑战者
7、()A经过管道 A 最高点时的机械能大于经过管道 B 最低点时的机械能 B经过管道 A 最低点时的动能大于经过管道 B 最低点时的动能 C经过管道 B 最高点时对管外侧壁有压力 D不能经过管道 B 的最高点【答案】C【解析】A 管最高点恰好无压力，可得出 mgmv2AR。根据机械能守恒定律，A、B 项中机械能和动能都是相等的，C 项中由于管 B 低，到达 B 最高点的速度 vBvA。由 Nmgmv2Brmv2ARmg，即 N0，即经过管道 B 最高点时对管外侧壁有压力，故选 C 项。5(多选)在竖直平面内的直角坐标系内，一个质量为 m 的质点，在恒力 F 和重力的作用下，从坐标原点 O 由静止
8、开始沿直线 OA 斜向下运动，直线 OA 与 y 轴负方向成 角(90)。不计空气阻力，重力加速度为 g，则以下说法正确的是()A当 Fmgtan 时，质点的机械能守恒 B当 Fmgsin 时，质点的机械能守恒 C当 Fmgtan 时，质点的机械能可能减小也可能增大 D当 Fmgsin 时，质点的机械能可能减小也可能增大【答案】BC【解析】质点只受重力 G 和拉力 F，质点做直线运动，合力方向与 OA 共线，如图，当拉力与 OA 垂直时，拉力最小，根据几何关系，有 FGsin mgsin，F 的方向与 OA 垂直，拉力 F 做功为零，所以质点的机械能守恒，故 B 正确，D 错误；若 Fmgta
9、n，由于 mgtan mgsin，故 F 的方向与 OA不再垂直，有两种可能的方向，F 与物体的运动方向的夹角可能大于 90，也可能小于 90，即拉力 F 可能做负功，也可能做正功，重力做功不影响机械能的变化，故根据动能定理，物体机械能变化量等于力 F 做的功，即机械能可能增加，也可能减小，故 A 错误，C 正确。6一根质量为 m、长为 L 的均匀链条一半放在光滑的水平桌面上，另一半悬在桌边，桌面足够高，如图甲所示。若将一个质量为 m 的小球分别拴在链条右端和左端，如图乙、图丙所示。约束链条的挡板光滑，三种情况均由静止释放，当整根链条刚离开桌面时，关于它们的速度关系，下列判断正确的是()Av
10、甲v 乙v 丙 Bv 甲v 乙v 丙 Cv 丙v 甲v 乙 Dv 乙v 甲v 丙【答案】D【解析】三种情况下，系统机械能守恒，由EpEk得，对于甲：12mgL412mgL212mv2甲，v 甲 3gL2；对于乙：12mgL412mgL2mgL2122mv2乙，v 乙7gL8；对于丙：12mgL412mgL2122mv2丙，v 丙3gL8，故 v 乙v 甲v 丙，D 项对。7(多选)如图所示，长为 3L 的轻杆可绕水平轴 O 自由转动，Oa2Ob，杆的上端固定一质量为 m 的小球(可视为质点)，质量为 M 的正方形静止在水平面上，不计一切摩擦阻力。开始时，竖直轻细杆右侧紧靠着正方体物块，由于轻微
11、的扰动，杆逆时针转动，带动物块向右运动，当杆转过 60时杆与物块恰好分离。重力加速度为 g，当杆与物块分离时，下列说法正确的是()A小球的速度大小为8mgL4mM B小球的速度大小为32mgL16mM C物块的速度大小为2mgL4mM D物块的速度大小为2mgL16mM【答案】BD【解析】设小球、b 端、物块的速度分别为 va、vb、vM，根据系统的机械能守恒得 mg2L(1cos60)12mv2a12Mv2M，a 球与 b 端的角速度相等，由 vr，得 va2vb，b 端的线速度沿水平方向的分速度等于物块的速度，即有 vbcos 60vM，得 vb2vM，所以 va4vM，联立解得 va32
12、mgL16mM，vM2mgL16mM，故 B、D 项正确。8(多选)如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为 mA的小物块 A，细线跨过 O 点的轻小光滑定滑轮一端连接 A，另一端悬挂质量为 mB的小物块 B，C 为 O 点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离 OCh。开始时 A 位于 P 点，PO 与水平方向的夹角为 30。现将 A、B 同时由静止释放，则下列分析正确的是()A物块 B 从释放到最低点的过程中，物块 A 的动能不断增大 B物块 A 由 P 点出发第一次到达 C 点的过程中，物块 B 的机械能先增大后减小 CPO 与水平方向的夹角为 45时，物块 A、B 速度大小关系是 vA 22 v
13、B D物块 A 在运动过程中最大速度为2mBghmA 【答案】AD【解析】物块 A 由 P 点出发第一次到达 C 点过程中，物块 B 从释放到了最低点，此过程中，对 A 受力分析，可知绳子对 A 的拉力一直做正功，其动能一直增大，故 A 项正确；物块 A由 P 点出发第一次到达 C 点的过程中，绳子对 B 一直做负功，其机械能一直减小，故 B 项错误；根据两个物体沿绳子方向的分速度大小相等，则知 vAcos 45vB，得 vA 2vB，故 C项错误；B 的机械能最小时，即为 A 到达 C 点，此时 A 的速度最大(设为 vA)，B 的速度为 0，根据系统的机械能守恒得 mBghsin30h 1
14、2mAv2A，解得 vA2mBghmA，故 D 项正确。9(多选)如图所示，A、B 两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A 放在固定的光滑斜面上，B、C 两小球在竖直方向上通过劲度系数为 k 的轻质弹簧相连，C 球放在水平地面上，现用手控制住 A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直，右侧细线与斜面平行，已知 A 的质量为 4m，B、C 的质量均为 m，重力加速度为 g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态，释放 A 后，A 沿斜面下滑至速度最大时，C 恰好离开地面，下列说法正确的是()A斜面倾角 30 BA 获得最大速度为 2gm5k CC 刚离开地面时，B 的
15、加速度最大 D从释放 A 到 C 刚离开地面的过程中，A、B 两小球组成的系统机械能不守恒【答案】ABD【解析】A 沿斜面下滑至速度最大时，即 A 重力沿斜面向下的分力等于绳子的拉力，即4mgsinT0；C 恰好离开地面，弹簧的弹力等于 C 的重力，故有 Fmg，B 此时和 A 的状态一致，加速度为零，即合力为零，所以有 TFmg0，联立可得 sin0.5，即斜面倾角 30，A 项正确，C 项错误；在 ABC 小球和弹簧组成的系统中，开始时，弹簧处于压缩状态，由于绳子没有拉力，所以弹簧的弹力等于 B 球的重力，即 kx1mg，到 A 速度最大时，弹簧处于拉伸状态，弹簧的弹力等于 C 球的重力，
16、而 B 球的重力等于 C 球的重力，即kx2mg，所以两次情况下弹簧的弹性势能相同，A 下落的高度为 h(x1x2)sin，根据系统机械能守恒得 4mghmg(x1x2)12(5m)v2m，解得 vm2gm5k，故 B 项正确；释放 A 到 C刚离开地面的过程中，由于受弹力作用，A、B 两小球组成的系统机械能不守恒，D 项正确。10竖直平面内半径为 R 的光滑圆弧轨道 CDM 与左侧光滑斜面体 ABC 相切于 C 点，倾角分别如图所示。O 为圆弧圆心，D 为圆弧最低点，C、M 在同一水平高度。斜面体 ABC 固定在地面上，顶端 B 安装一个光滑的定滑轮，一轻质细绳跨过定滑轮分别连接小物块 P、
17、Q(两边细绳分别与对应斜面平行)，此时 P、Q 两物块在斜面上保持静止。若 PC 间距 L10.25 m，物块P 质量 m13 kg。g 取 10 m/s2。sin370.6，cos370.8。求：(1)小物块 Q 的质量 m2。(2)若烧断细绳后，物块 P 第一次过 D 点时对轨道的压力大小为 78 N，则圆弧面的半径 R 是多少？【解析】(1)P、Q 两物块在斜面上保持静止，根据平衡条件得 对 P 受力分析：m1gsin53T 对 Q 受力分析：Tm2gsin37 由式代入数据解得 m24 kg。(2)物块 P 运动到 D 过程由机械能守恒定律得 m1gh12m1v2D 由几何关系得 hL
18、1sin53R(1cos53)物块 P 运动到 D 点时，根据牛顿第二定律有 FDm1gm1v2DR 由代入数据得 R0.5 m。11如图所示，长为 3L 的轻杆左端套在固定的水平转轴 O 上，右端连接有质量为 M 的小球A，绕过两个光滑定滑轮 C、D 的细线一端连接 A 球，另一端连接 B 球，开始时轻杆水平，C、A 间的细线竖直且长度为 L，由静止释放 A 球，当 A 球运动到最低点时，速度刚好为零，重力加速度为 g，BD 段细线足够长。轻杆与水平转轴间无摩擦，求：(1)B 球的质量；(2)释放 A 球的瞬间，A 球的加速度大小；(3)若改变 B 球的质量，使 A 球由静止释放时的加速度大
19、小为12g，则 A 球运动到最低点时速度多大？【解析】(1)当 A 球运动到最低点时，由几何关系可知，B 球上升的高度：22(3)(4)4hLLLL 设小球 B 的质量为 m，根据机械能守恒定律有：Mg3Lmgh 解得：m34M。(2)设刚释放 A 球时的加速度 a，对 A 研究：MgTMa 对 B 研究：Tmgma 解得：17ag。(3)设改变后 B 球的质量为 m，根据题意有：(Mm)g(Mm)a 解得：m13M 设 A 球运动到最低点时细线与水平方向的夹角为，根据几何关系，cos35 设 A 球运动到最低点时的速度大小为 v1，B 球的速度大小为 v2，则 v1cos v2 根据机械能守
20、恒：3MgLmgh12Mv1212mv22 解得：15542vgL。12如图所示为某款弹射游戏示意图，光滑水平台面上固定发射器、竖直光滑圆轨道、粗糙斜面 AB、竖直面 BC 和竖直靶板 MN。通过轻质拉杆将发射器的弹簧压缩一定距离后释放，滑块从 O 点弹出并从 E 点进入圆轨道，绕转一周后继续在平直轨道上前进，从 A 点沿斜面 AB向上运动，滑块从 B 点射向靶板目标(滑块从水平面滑上斜面时不计能量损失)。已知滑块质量 m0.05 kg，斜面倾角 37，斜面长 L2.5 m，滑块与斜面 AB 之间的动摩擦因数0.5，竖直面 BC 与靶板 MN 间距离为 d，B 点离靶板上 10 环中心点 P
21、的竖直距离 h0.45 m，忽略空气阻力，滑块可视为质点。已知 sin 370.6，cos 370.8，取 g10 m/s2。(1)若要使滑块恰好能够到达 B 点，则圆轨道允许的最大半径为多大?(2)在另一次弹射中发现滑块恰能水平击中靶板上的 P 点，则此次滑块被弹射前弹簧被压缩到最短时的弹性势能为多大?(3)若 MN 板可沿水平方向左右移动靠近或远离斜面，以保证滑块从 B 点出射后均能水平击中靶板。以 B 点为坐标原点，建立水平竖直坐标系(如图)，则滑块水平击中靶板位置坐标(x，y)应满足什么条件?【解析】(1)设圆轨道允许的半径最大值为 R，在圆轨道最高点有：mgmv2R 要使滑块恰好能到达 B 点，即：vB0 从圆轨道最高点至 B 点的过程，由动能定理得：mgLsin 2mgR2mgLcos 012mv2 代入数据可得：R1 m。(2)滑块恰能水平击中靶板上的 P 点，B 到 P 运动的逆过程为平抛运动。从 B 到 P：t2hg，vygt，vBsin vy 代入数据可得：vB5 m/s 从弹射至点 B 的过程，由机械能守恒得：EpmgLsin mgLcos 12mvB2 代入数据可得：Ep1.875 J(3)根据平抛规律的推论可知：1 tan372yx 即38yx，或38yx，或83xy。