1、3.1.2椭圆的简单几何性质A级必备知识基础练1.已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是()A.=1B.=1C.=1D.=12.(2022天津三中高二期中)椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1的关系为()A.有相同的长轴长与短轴长B.有相同的焦距C.有相同的焦点D.有相同的离心率3.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,面积为2,且短轴长为2,则C的标准方程为()A.+y2=1B.=1C.=1D.=14.(2022广东人大附中深圳学校高二期中)焦点在x轴上,右焦
2、点到短轴端点的距离为2,到最左的点的距离为3的椭圆的标准方程是()A.=1B.+y2=1C.+y2=1D.x2+=15.以椭圆=1的长轴端点作为短轴端点,且过点(-4,1)的椭圆的焦距是()A.16B.12C.8D.66.(多选题)(2022河北唐县一中高二期中)若椭圆C:=1的一个焦点坐标为(0,1),则下列结论正确的有()A.m=2B.C的长轴长为C.C的短轴长为D.C的离心率为7.若椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则实数m的值为.8.已知椭圆C的对称中心为坐标原点,对称轴为坐标轴,C的离心率为,且点P(1,1)到C的一个焦点的距离为,求C的标准方程.B级关键能
3、力提升练9.在手工课上,王老师带领同学们一起制作了一个近似鸟巢的金属模型,其俯视图可近似看成是两个大小不同,扁平程度相同的椭圆,已知大椭圆的长轴长为40 cm,短轴长为20 cm,小椭圆的短轴长为10 cm,则小椭圆的长轴长为()A.30 cmB.20 cmC.10 cmD.10 cm10.(2022浙江宁波北仑中学高二月考)若将一个椭圆绕其中心旋转90,所得椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,这样的椭圆称为“对偶椭圆”.下列椭圆是“对偶椭圆”的是()A.=1B.=1C.=1D.=111.(2022吉林田家炳高级中学高二期中)已知椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2
4、(c,0),点P在椭圆上,且PF1F2=30,PF2F1=60,则椭圆的离心率等于()A.-1B.-1C.D.12.如图,椭圆的中心在原点O,顶点是A1,A2,B1,B2,焦点为F1,F2,延长B1F2与A2B2交于P点,若B1PA2为钝角,则此椭圆的离心率的取值范围为()A.0,B.,1C.0,D.,113.(多选题)若椭圆上存在点P,使得点P到椭圆的两个焦点的距离之比为21,则称该椭圆为“倍径椭圆”,则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是()A.=1B.=1C.=1D.=114.如图,椭圆=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,过椭圆上的点P作y轴的垂线,垂足为Q,若四边形F1F2PQ为菱形,
5、则该椭圆的离心率为.15.已知椭圆E的中心为原点O,两个焦点分别为A(-1,0),B(1,0),一个顶点为H(2,0).(1)求椭圆E的标准方程;(2)对于x轴上的点P(t,0),椭圆E上存在点M,使得MPMH,求实数t的取值范围.C级学科素养创新练16.(2022浙江宁波高二期中)如图,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点,延长PF2与椭圆交于点Q.若|PF1|=4|QF2|,则直线PF2的斜率为()A.-2B.-1C.-D.1参考答案3.1.2椭圆的简单几何性质1.A由题意知2a=8,解得a=4.又e=,即,解得c=3.所以b2=a2-c
6、2=7.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的标准方程为=1.故选A.2.D椭圆x2+2y2=2可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为2,焦距为2,离心率为,且焦点在x轴上;2x2+y2=1可化为+y2=1,由此可得长轴长为2,短轴长为,焦距为,离心率为,且焦点在y轴上.可得A,B,C不正确,D正确.故选D.3.B由题意可得解得因为椭圆C的焦点在x轴上,所以C的标准方程为=1.故选B.4.A根据题意,设椭圆的标准方程为=1(ab0),若右焦点到短轴端点的距离为2,则c2+b2=4,即a2=4,则a=2.又右焦点到椭圆最左的点的距离为3,则a+c=3,即c=1,则b2=a2-c2=4-1=3.
7、故椭圆的标准方程为=1.故选A.5.D因为椭圆=1的长轴端点为(0,3),所以可设所求的椭圆的标准方程为=1.椭圆经过点(-4,1),=1,解得a2=18,则c=3.因此,所求椭圆的焦距为6.故选D.6.AD由已知可得=1,解得m=2或m=-1(舍去),椭圆C的标准方程为=1.长轴长为2,短轴长为2,离心率为.故选AD.7.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,=2,m=.8.解当焦点F在x轴上时,设F(m,0),则|PF|=,解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.当c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时C的标准方程为=1;当c=2时,由,得a=4时,则b
8、2=a2-c2=12,此时,C的标准方程为=1.当焦点F在y轴上时,设F(0,m),则|PF|=,解得m=4或m=-2,则c=4或c=2.当c=4时,由,得a=8,则b2=a2-c2=48,此时,C的标准方程为=1;当c=2时,由,得a=4,则b2=a2-c2=12,此时C的标准方程为=1.综上,C的标准方程为=1或=1或=1或=1.9.B设小椭圆的长半轴长为a小.因为两个椭圆的扁平程度相同,所以两个椭圆的离心率相同,所以,所以小椭圆的长轴长为20cm.故选B.10.A因为旋转后椭圆的短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点,所以2b=2c,即b=c.A中,因为a2=8,b2=4,所以c2=a2-b
9、2=4,故b=c;B中,因为a2=5,b2=3,所以c2=a2-b2=23;C中,因为a2=6,b2=2,所以c2=a2-b2=42;D中,因为a2=9,b2=6,所以c2=a2-b2=36.故选A.11.BPF1F2=30,PF2F1=60,|F1F2|=2c,PF1F2是直角三角形,|PF2|=c,|PF1|=c.由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,c+c=2a,e=-1.故选B.12.D因为B1PA2为钝角,所以0,即(-c,-b)(a,-b)0,整理可得b2aca2-c2-ac0,解得e或e.又e(0,1),所以e1.故选D.13.BC假设椭圆上存在点P,使得|PF1|=2|
10、PF2|,则|PF1|+|PF2|=2|PF2|+|PF2|=3|PF2|=2a,即|PF2|=,|PF1|=.因为|PF2|a-c,所以a-c,即a3c.经检验,A,D不满足要求,B,C满足要求.故选BC.14.根据题意可得|QF1|=|F1F2|=|PF2|=2c.在直角三角形QF1O中,因为|QF1|=2c,|F1O|=c,所以QF1O=60,所以|PF1|=22ccos30=2c,所以|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,所以e=.15.解(1)由题意可得,c=1,a=2,b=.所求椭圆E的标准方程为=1.(2)设M(x0,y0)(x02),则=1.=(t-x0,-y0),=(2-x0,-y0),由MPMH可得=0,即(t-x0)(2-x0)+=0.由消去y0,整理得t(2-x0)=-+2x0-3.x02,t=x0-.-2x02,-2t0),|PF1|=4|QF2|,|PF1|=4m.|PF2|=2a-|PF1|=2a-4m,|QF1|=2a-|QF2|=2a-m.|PQ|=2a-4m+m=2a-3m.在PF1Q中,F1PQ=90,|QF1|2=|PF1|2+|PQ|2,即(2a-m)2=(4m)2+(2a-3m)2,解得a=3m,|PF2|=2m.tanPF2F1=2.直线PF2的斜率为k=tan(180-PF2F1)=-2,故选A.