1、 今天我们研究构造齐次方程求椭圆的离心率范围。离心率是描述椭圆“扁平程度”的一个重要数据，它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起。求椭圆的离心率范围首先从定义出发，利用椭圆上点坐标的范围和焦三角形的三边大小关系，结合参数方程中三角函数有界性和均值不等式，有时也常常转化为一元二次方程利用判别式或者完全平方数（式），具体问题具体对待，贵在转化。根据题设条件，借助a,b,c之间的关系，找到a,c的不等式，得到关于e的不等式，从而解得离心率e的范围。先看例题：例：已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，求椭圆离心率的范围.解：设椭圆的焦距为2c，由椭圆的定义知.在中，由余弦定理得=（所以所以.又，故
2、的取值范围是归纳整理：离心率刻画椭圆的扁平程度。把椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率。先借助、之间的关系，找到、的不等式，再得到关于的不等式，解得离心率的范围。再看一个例题，加深印象例：已知椭圆(ab0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0).若椭圆上存在点P使,则该椭圆的离心率的取值范围为_.解：依题意及正弦定理得(注意到P不与F1F2共线),则有,又因为，则,所以整理为：,(e+1)22，又因为椭圆离心率范围在0eb0)的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A.在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 3.设F1,F2分别是椭圆(ab0)的左右焦点,若在直线上存在点P,使PF1F2为等腰三角形,则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B. C. D. 4.已知椭圆E: (ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( )A.B.C.D.
