1、课时跟踪检测（四十八） 圆的方程 (二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1以M(1,0)为圆心，且与直线xy30相切的圆的方程是()A(x1)2y28B(x1)2y28C(x1)2y216 D(x1)2y216解析：选A因为所求圆与直线xy30相切，所以圆心M(1,0)到直线xy30的距离即为该圆的半径r，即r2.所以所求圆的方程为(x1)2y28.2若圆C的半径为1，圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为()Ax2y21 B(x3)2y21C(x1)2y21 Dx2(y3)21解析：选A因为圆心C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，
2、所以所求圆的标准方程为x2y21.3(2018兰州模拟)若直线axby10(a0，b0)把圆(x4)2(y1)216分成面积相等的两部分，则的最小值为()A10 B8C5 D4解析：选B圆(x4)2(y1)216的圆心坐标为(4，1)，直线axby10把圆分成面积相等的两部分，该直线过点(4，1)，4ab10，即4ab1，(4ab)4428，当且仅当a，b时取“”，故选B.4(2018湖北七市(州)联考)关于曲线C：x2y41，给出下列四个命题：曲线C有两条对称轴，一个对称中心；曲线C上的点到原点距离的最小值为1；曲线C的长度l满足l4；曲线C所围成图形的面积S满足S4，故正确；由知，12S2
3、2，即S4，故正确选A.5已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为()A(x1)2(y1)22 B(x1)2(y1)22C(x1)2(y1)22 D(x1)2(y1)22解析：选D由题意知xy0 和xy40平行，且它们之间的距离为2，所以r.又因为xy0与xy0，xy40均垂直，所以由xy0和xy0联立得交点坐标为(0,0)，由xy0和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.6圆(x2)2y24关于直线yx对称的圆的方程是_解析：圆与圆关于直线对称，则圆的半径相同，只需圆心关于直线对称即可设所求圆的圆心坐
4、标为(a，b)，则解得所以圆(x2)2y24的圆心关于直线yx对称的点的坐标为(1，)，从而所求圆的方程为(x1)2(y)24.答案：(x1)2(y)247在平面直角坐标系内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_解析：圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2，故由题意知解得a2，故实数a的取值范围为(，2)答案：(，2)8已知平面区域恰好被面积最小的圆C：(xa)2(yb)2r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为_解析：由题意知，此平面区域表示的是以O(0,0)，P(4,0)，Q(0,2)所构成的三角形及其内部，
5、所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆OPQ为直角三角形，圆心为斜边PQ的中点(2,1)，半径r，因此圆C的方程为(x2)2(y1)25.答案：(x2)2(y1)259已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程解：(1)把圆C1的方程化为标准方程得(x3)2y24，圆C1的圆心坐标为C1(3,0)(2)设M(x，y)，A，B为过原点的直线l与圆C1的交点，且M为AB的中点，由圆的性质知：MC1MO，0.又(3x，y)，(x，y)，x23xy20.易知直线l的斜率存在，故设直线l的方程为ymx，当直线l与圆C
6、1相切时，圆心到直线l的距离d2，解得m.把相切时直线l的方程代入圆C1的方程化简得9x230x250，解得x.当直线l经过圆C1的圆心时，M的坐标为(3,0)又直线l与圆C1交于A，B两点，M为AB的中点，x3.点M的轨迹C的方程为x23xy20，其中x3，其轨迹为一段圆弧10已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点(1)求m2n的最大值；(2)求的最大值和最小值解：(1)因为x2y24x14y450的圆心C(2,7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解得162t162，所以m2n的最大值为162.(2)记点Q
7、(2,3)，因为表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有公共点，得2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.B级拔高题目稳做准做1(2018银川模拟)方程|y|1表示的曲线是()A一个椭圆 B一个圆C两个圆 D两个半圆解析：选D由题意知|y|10，则y1或y1，当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1上方的半圆；当y1时，原方程可化为(x1)2(y1)21(y1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y1下方的半圆所以方程|y|1表示的曲线是两个半圆，选D.2已知圆C关于y轴
8、对称，经过点(1,0)且被x轴分成两段，弧长比为12，则圆C的方程为 _.解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心(0，a), 半径为r，则rsin1，rcos|a|，解得r，即r2，|a|，即a，故圆C的方程为x22.答案：x223当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时，直线y(k1)x2的倾斜角_.解析：由题意可知，圆的半径r1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k0，r1，所以直线方程为yx2，则有tan 1，又0，)，故.答案：4已知圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)，则圆C的方程为_解析：因为圆C和直线x6y100相
9、切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6，其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y上，即5x7y500上，由解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为，故所求圆的方程为(x3)2(y5)237.答案：(x3)2(y5)2375已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的最小值解：(1)设圆心C(a，b)，由已知得M(2，2)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x
10、，y)，则x2y22，(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，又min1，所以的最小值为4.6在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为2 的圆C与直线yx相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程；(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q，使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆C的圆心为C(a，b)，则圆C的方程为(xa)2(yb)28.因为直线yx与圆C相切于原点O，所以O点在圆C上，且OC垂直于直线yx，于是有解得或由于点C(a，b)在第二象限，故a0，所以圆C的方程为(x2)2(y2)28.(2)假设存在点Q符合要求，设Q(x，y)，则有解得x或x0(舍去)所以存在点Q，使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长