1、8.3直线、平面平行的判定与性质1.直线与平面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定性质定义定理图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.()(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.()(3)若直线a与平面内无数条直线平行，则a.()(4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF平面BCD.()(5)若，直线a，则a.()2.若直线l不平行于平面，且l，
2、则 ()A.内的所有直线与l异面B.内不存在与l平行的直线C.内存在唯一的直线与l平行D.内的直线与l都相交答案B解析由题意知，直线l与平面相交，则直线l与平面内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的.3.下列命题中，错误的是()A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B.平行于同一个平面的两个平面平行C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面答案C解析由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面.4.如图，正方体ABCDA1B1C1D
3、1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_.答案解析因为直线EF平面AB1C，EF平面ABCD，且平面AB1C平面ABCDAC，所以EFAC，又E是DA的中点，所以F是DC的中点，由中位线定理可得EFAC，又在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，所以AC2，所以EF.5.已知平面平面，直线a，有下列命题：a与内的所有直线平行；a与内无数条直线平行；a与内的任意一条直线都不垂直.其中真命题的序号是_.答案解析因为，a，所以a，在平面内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题为真命题，命题为假命题.在平面内存在无数条直线与
4、直线a垂直，故命题为假命题.题型一直线与平面平行的判定与性质例1(2012山东)如图，几何体EABCD是四棱锥，ABD为正三角形，CBCD，ECBD.(1)求证：BEDE；(2)若BCD120，M为线段AE的中点，求证：DM平面BEC.思维启迪(1)利用等腰EDB底边中线和高重合的性质证明；(2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行.证明(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CBCD，所以COBD.又ECBD，ECCOC，CO，EC平面EOC，所以BD平面EOC，因此BDEO.又O为BD的中点，所以BEDE.(2)方法一如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN.因为M
5、是AE的中点，所以MNBE.又MN平面BEC，BE平面BEC，所以MN平面BEC.又因为ABD为正三角形，所以BDN30.又CBCD，BCD120，因此CBD30.所以DNBC.又DN平面BEC，BC平面BEC，所以DN平面BEC.又MNDNN，所以平面DMN平面BEC.又DM平面DMN，所以DM平面BEC.方法二如图，延长AD，BC交于点F，连接EF.因为CBCD，BCD120，所以CBD30.因为ABD为正三角形，所以BAD60，ABC90，因为AFB30，所以ABAF.又ABAD，所以D为线段AF的中点.连接DM，由于点M是线段AE的中点，因此DMEF.又DM平面BEC，EF平面BEC，
6、所以DM平面BEC.思维升华判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa).如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，H分别为棱A1B1，D1C1上的点，且EHA1D1，过EH的平面与棱BB1，CC1相交，交点分别为F，G，求证：FG平面ADD1A1.证明因为EHA1D1，A1D1B1C1，EH平面BCC1B1，B1C1平面BCC1B1，所以EH平面BCC1B1.又平面FGHE平面BCC1B1FG，所以EHFG，即FGA1D1.又FG平面ADD
7、1A1，A1D1平面ADD1A1，所以FG平面ADD1A1.题型二平面与平面平行的判定与性质例2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1平面BCHG.思维启迪要证四点共面，只需证GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行.证明(1)GH是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G四点共面.(2)E、F分别为AB、AC的中点，EFBC，EF平面BCHG，BC平面BCHG，EF平面BCHG.A1G綊EB，四边形A1EBG是平行四边形
8、，A1EGB.A1E平面BCHG，GB平面BCHG.A1E平面BCHG.A1EEFE，平面EFA1平面BCHG.思维升华证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点， E、F、G分别是BC、DC、SC的中点，求证：(1)直线EG平面BDD1B1；(2)平面EFG平面BDD1B1.证明(1
9、)如图，连接SB，E、G分别是BC、SC的中点，EGSB.又SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，直线EG平面BDD1B1.(2)连接SD，F、G分别是DC、SC的中点，FGSD.又SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，且EG平面EFG，FG平面EFG，EGFGG，平面EFG平面BDD1B1.题型三平行关系的综合应用例3如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值.解AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分
10、别交于FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证EFGH，截面EFGH是平行四边形.设ABa，CDb，FGH (即为异面直线AB和CD所成的角或其补角).又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得1，即y(ax)，SEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax).x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，x(ax)，此时x，y.即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大.思维升华利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.如图所示，四棱锥PA
11、BCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内，有BEPC于E，且BEa，试在AB上找一点F，使EF平面PAD.解在平面PCD内，过E作EGCD交PD于G，连接AG，在AB上取点F，使AFEG，EGCDAF，EGAF，四边形FEGA为平行四边形，FEAG.又AG平面PAD，FE平面PAD，EF平面PAD.F即为所求的点.又PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC面PAB.PBBC.PC2BC2PB2BC2AB2PA2.设PAx则PC，由PBBCBEPC得：aa，xa，即PAa，PCa.又CE a，即GECDa，AFa.立体几何中的探索性问题典例：(12分)如图，在四面体
12、PABC中，PCAB，PABC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点.(1)求证：DE平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.思维启迪(1)利用DEPC证明线面平行；(2)利用平行关系和已知PCAB证明DEDG；(3)Q应为EG中点.规范解答(1)证明因为D，E分别是AP，AC的中点，所以DEPC.又因为DE平面BCP，所以DE平面BCP.3分(2)证明因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点，所以DEPCFG，DGABEF.所以四边形DEFG为平行四边形.又因为PCAB，所以DEDG.所以
13、四边形DEFG为矩形.7分(3)解存在点Q满足条件，理由如下：8分连接DF，EG，设Q为EG的中点，由(2)知，DFEGQ，且QDQEQFQGEG.分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QMQNEG，所以Q为满足条件的点.12分解决立体几何中的探索性问题的步骤：第一步：写出探求的最后结论.第二步：证明探求结论的正确性.第三步：给出明确答案.第四步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.温馨提醒(1)立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问
14、题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.(2)这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使成立”，“只需使成立”.方法与技巧1.平行问题的转化关系线线线面面性质判定面2.直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质.3.平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即
15、从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1.若直线a平行于平面，则下列结论错误的是()A.a平行于内的所有直线B.内有无数条直线与a平行C.直线a上的点到平面的距离相等D.内存在无数条直线与a成90角答案A解析若直线a平行于平面，则内既存在无数条直线与a平行，也存在无数条直线与a异面且垂直，所以A不正确，B、D正确.又夹在相互平行的线与平面间的平行线段相等，所以C正确.2.若直线m平面，则条件甲：“直线l
16、”是条件乙：“lm”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案D3.已知a，b是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是()A.ab，b，则aB.a，b，a，b，则C.a，b，则abD.当a，且b时，若b，则ab答案C解析A选项是易错项，由ab，b，也可能推出a；B中的直线a，b不一定相交，平面，也可能相交；C正确；D中的直线a，b也可能异面.4.在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()A.BD平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形B.EF平面BCD，且四边形
17、EFGH是梯形C.HG平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形D.EH平面ADC，且四边形EFGH是梯形答案B解析如图，由题意得，EFBD，且EFBD.HGBD，且HGBD.EFHG，且EFHG.四边形EFGH是梯形.又EF平面BCD，而EH与平面ADC不平行.故选B.5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形的序号是()A.B.C.D.答案B解析中易知NPAA，MNAB，平面MNP平面AAB可得出AB平面MNP(如图).中，NPAB，能得出AB平面MNP.二、填空题6.过三棱柱ABCA1B1C1任意两条棱的中点作直线，其中与
18、平面ABB1A1平行的直线有_条.答案6解析如图，E、F、G、H分别是A1C1、B1C1、BC、AC的中点，则 与平面ABB1A1平行的直线有EF，GH，FG，EH，EG，FH共6条.7.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.8.在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列结论中，错误的为_.ACBD；AC截面P
19、QMN；ACBD；异面直线PM与BD所成的角为45.答案解析PQMN是正方形，MNQP，则MN平面ABC，由线面平行的性质知MNAC，则AC截面PQMN，同理可得MQBD，又MNQM，则ACBD，故正确.又BDMQ，异面直线PM与BD所成的角即为PMQ45，故正确.三、解答题9.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC5，BB1BC6，D，E分别是AA1和B1C的中点.(1)求证：DE平面ABC；(2)求三棱锥EBCD的体积.(1)证明取BC中点G，连接AG，EG.因为E是B1C的中点，所以EGBB1，且EGBB1.由直棱柱知，AA1綊BB1，而D是AA1的中点，所以EG綊AD，所以四边
20、形EGAD是平行四边形.所以EDAG.又DE平面ABC，AG平面ABC，所以DE平面ABC.(2)解因为ADBB1，所以AD平面BCE，所以VEBCDVDBECVABCEVEABC，由(1)知，DE平面ABC.所以VEABCVDABCADBCAG36412.10.如图E、F、G、H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱BC、CC1、 C1D1、AA1的中点.求证：(1)EG平面BB1D1D；(2)平面BDF平面B1D1H.证明(1)取B1D1的中点O，连接GO，OB，易证四边形BEGO为平行四边形，故OBGE，由线面平行的判定定理即可证EG平面BB1D1D.(2)由题意可知BDB1D1.如图
21、，连接HB、D1F，易证四边形HBFD1是平行四边形，故HD1BF.又B1D1HD1D1，BDBFB，所以平面BDF平面B1D1H.B组专项能力提升(时间：30分钟)1.设m，n是平面内的两条不同直线；l1，l2是平面内的两条相交直线，则的一个充分而不必要条件是()A.m且l1B.ml1且nl2C.m且nD.m且nl2答案B解析对于选项A，不合题意；对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1m可得l1，同理可得l2，故可得，充分性成立，而由不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项D，由于nl2可转化为n，同
22、选项C，故不符合题意.综上选B.2.已知平面平面，P是、外一点，过点P的直线m与、分别交于A、C，过点P的直线n与、分别交于B、D且PA6，AC9，PD8，则BD的长为_.答案24或解析根据题意可得到以下如图两种情况：可求出BD的长分别为或24.3.空间四边形ABCD的两条对棱AC、BD的长分别为5和4，则平行于两条对棱的截面四边形EFGH在平移过程中，周长的取值范围是 _.答案(8,10)解析设k，1k，GH5k，EH4(1k)，周长82k.又0k1，周长的范围为(8,10).4.平面内有ABC，AB5，BC8，AC7，梯形BCDE的底DE2，过EB的中点B1的平面，若分别交EA、DC于A1
23、、C1，求A1B1C1 的面积.解，A1B1AB，B1C1BC，又因A1B1C1与ABC同向.A1B1C1ABC.又cosABC，ABC60A1B1C1.又B1为EB的中点，B1A1是EAB的中位线，B1A1AB，同理知B1C1为梯形BCDE的中位线，B1C1(BCDE)5.则SA1B1C1A1B1B1C1sin 605.故A1B1C1的面积为.5.如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点.(1)求三棱锥APDE的体积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由.解(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD，所以AD是三棱锥APDE的高.因为E为PC的中点，且PDDC4，所以SPDESPDC4.又AD2，所以VAPDEADSPDE24.(2)取AC中点M，连接EM，DM，因为E为PC的中点，M是AC的中点，所以EMPA.又因为EM平面EDM，PA平面EDM，所以PA平面EDM.所以AMAC.即在AC边上存在一点M，使得PA平面EDM，AM的长为.
