1、数学思想专项训练(一)函数与方程思想方法概述适用题型函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题方程思想，是从问题中的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解有时，还通过函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.函数与方程的思想在解题中的应用十分广泛，主要有以下几种类型：(1)函数与不等式的相互转化，对函数yf(x)，当y0时，就化为不等式f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函
2、数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.一、选择题1已知不等式ax2bx10的解集是2,3，则不等式x2bxa0的解集是()A(3，2)B(，3)(2，)C(，) D(，)(，)解析：选C由题意知方程ax2bx10的根分别为x12，x23，所以由根与系数的关系得235，236，解得a，b，则不等式x2bxa0即为x2x0，解得x.2若函数f(x)、g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足f(x)g(x)ex，则有()Af(2)f(3)g(0) B.g(0)f(3)f(2)Cf(2)g(0)f(3) Dg(0)
3、f(2)f(2)0，因此g(0)f(2)f(3)3a0是方程ax22x10至少有一个负数根的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析：选B一方面，由a0，此时方程有两个不等实根，且两个实根的积等于0，方程恰有一正、一负的实根，可知方程ax22x10至少有一个负数根；另一方面，由方程ax22x10至少有一个负数根不能推知a0，如当a1时，方程ax22x10，即(x1)20满足至少有一个负数根综上所述，“a1，若对于任意的xa,2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，这时a的取值的集合为()Aa|11，由此解得a2.5设等差数列an的前n项和为Sn
4、，已知(a51)32 012(a51)1，(a2 0081)32 012(a2 0081)1，则下列结论正确的是()AS2 0122 012，a2 008a5CS2 0122 012，a2 008a5解析：选A结合等式的结构形式，构造函数f(x)x32 012x，因为f(x)3x22 012的值恒大于0，所以函数f(x)是R上的增函数因为f(a51)f(a2 0081)，所以a51a2 0081.所以a2 0080恒成立，所以xy0，即a5a2 0082.所以S2 0122 012.二、填空题6已知不等式(xy)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为_解析：只需求(xy)的最小值大于
5、等于9即可，又(xy)1aaa12 a21，等号成立仅当a即可，所以()2219，即()2280得2或4(舍)，所以a4，即a的最小值为4.答案：47若关于x的方程(22|x2|)22a有实根，则实数a的取值范围是_解析：令f(x)(22|x2|)2，要使f(x)2a有实根，只需2a是f(x)的值域内的值即可f(x)的值域为1,4)，1a24，1a2.答案：1,2)8已知函数f(x)，aR，若方程f2(x)f(x)0共有7个实数根，则a_.解析：由f2(x)f(x)0知f(x)1或f(x)0.当f(x)1时，若|lg|x|1，则lg|x|1或lg|x|1，解得x110，x210，x3，x4.当
6、f(x)0时，若|lg|x|0，则lg|x|0，x51，x61，要使f2(x)f(x)0有7个根，则a0或a1.答案：1或09若数列an的通项公式为ann3nn(其中nN)，且该数列中最大的项为am，则m_.解析：令xn，则0x构造函数f(x)x33x2x，x，f(x)8x26x1.令f(x)0，故x1，x2.f(x)在上为增函数，f(x)在上为减函数f(x)maxf即当x时，f(x)最大，n2时，a2最大m2.答案：2三、解答题10已知a，b，cR，abc0，abc10，求a的取值范围解：法一(方程思想)：因为bca，bc1a.所以b，c是方程x2ax1a0的两根，所以a24(1a)0，即a
7、24a40，解得a22或a22.法二(函数思想)：由已知得bcbc10，如果c1，则b1b10，即20，不成立，因此c1，所以b，ac.令f(c)c，所以f(c)令f(c)0，则c1.当c1时，f(c)0，函数f(c)在区间(，1)上是减函数；当1c0，函数f(c)在区间(1，1)上是增函数；当1c0，函数f(c)在区间(1,1)上是增函数；当c1时，f(c)1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则|PQ|.又因为Q在椭圆上，所以x2a2(1y2)|PQ|2a2(1y2)y22y1(1a2)y22y1a2(1a2)21a2，因为|
8、y|1，a1，若a，则1，当y时，|PQ|取最大值；若1a，则当y1时，|PQ|取最大值2，综上，当a时，|PQ|的最大值为；当1a0，x0)，(1)若f(x)2x在(0，)上恒成立，求实数a的取值范围；(2)若f(x)在m，n上的值域也是m，n(mn)，求实数a的取值范围解：(1)由2x得2x.x0，当x时，min2，2，a，实数a的取值范围是.(2)f(x)0(x0)，f(x)在(0，)上是增函数又f(x)在m，n上的值域也是m，n(mn)，成立，即方程f(x)x在(0，)上有两个不同的解，即x在(0，)上有两个不同的解，即x2x10在(0，)上有两个不同的解x1，x2，解得0a，实数a的取值范围是.