1、第八章 立体几何第1讲 空间几何体及其表面积与体积一、填空题1已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，那么该三棱锥的侧视图可能为_解析 这个空间几何体的直观图如图所示，由题知这个空间几何体的侧视图的底面边长是，故其侧视图只可能是中的图形答案 2在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是_(写出所有正确结论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体解析显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对
2、面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；正方体ABCD A1B1C1D1中，三棱锥D1DBC满足条件答案3在三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且ABBCCA2，则三棱锥SABC的表面积是_解析设侧棱长为a，则a2，a，侧面积为3a23，底面积为22，表面积为3.答案34在直观图(如图所示)中，四边形OABC为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中，四边形ABCO为_，面积为_cm2.解析 由斜二测画法的特点，知该平面图形的直观图的原图，即在xOy坐标系中，四边形ABCO是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2
3、.答案 矩形85. 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是_解析由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V11.答案6. 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为a，A1ABA1AC60，则其全面积为_解析如题图，过B作BDAA1于D，连接CD，则BADCAD，所以ADBADC90，所以ADCD，ADBD，所以BCD为垂直于侧棱AA1的截面又因为BAD60，ABa，所以BDa.所以BDC的周长为(1)a，从而S侧(1)a2，S底a2sin 60a2.故S
4、全S侧2S底a2.答案a27正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM2，P到直线A1D1的距离为，则点P的轨迹是_解析由PM2，知点P在以M为圆心，2为半径的圆上又由P到直线A1D1的距离为，知点P在与BC平行且过AB中点的直线上，故点P的轨迹是它们的交点，即为两点答案两个点8已知矩形ABCD的面积为8，当矩形ABCD周长最小时，沿对角线AC把ACD折起，则三棱锥DABC的外接球表面积等于_解析 设矩形的两邻边长度分别为a，b，则ab8，此时2a2b48，当且仅当ab2时等号成立此时四边形ABCD为正方形，其中心到四个顶点的距离相
5、等，均为2，无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2的球面上，这个球的表面积是42216.答案 169已知点P，A，B，C是球O表面上的四个点，且PA、PB、PC两两成60角，PAPBPC1 cm，则球的表面积为_cm2.解析如图，取AB的中点M，连接PM、CM，过P作棱锥的高PN，则垂足N必在CM上，连接AN.棱锥的四个侧面都是边长为1的正三角形，故可得CMPM，从而CNCM，在RtPCN中，可求得PN，连接AO，则ANCN，设AOPOR，则在RtOAN中，有R222，解得R.球的表面积S4R2(cm2)答案10已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别为_，_.解析 由三视
6、图可知，该几何体的下部是一底边长为2，高为4的长方体，上部为一球，球的直径等于正方形的边长所以长方体的表面积为S122242440，长方体的体积为V122416，球的表面积和体积分别为S24124，V213，故该几何体的表面积为SS1S2404，该几何体的体积为VV1V216.答案 404；16二、解答题11. 如图，四边形ABCD为正方形，QA平面ABCD，PDQA，QAABPD.(1)证明：PQ平面DCQ；(2)求棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值(1)证明由条件知四边形PDAQ为直角梯形因为QA平面ABCD，所以平面PDAQ平面ABCD，交线为AD.又四边形ABCD为正方形，
7、DCAD，所以DC平面PDAQ，可得PQDC.在直角梯形PDAQ中可得DQPQPD，则PQQD.又DQDCD，所以PQ平面DCQ.(2)解设ABa.由题设知AQ为棱锥QABCD的高，所以棱锥QABCD的体积V1a3.由(1)知PQ为棱锥PDCQ的高，而PQa，DCQ的面积为a2，所以棱锥PDCQ的体积V2a3.故棱锥QABCD的体积与棱锥PDCQ的体积的比值为1.12如图，把边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE折起，使AC.(1)求证：平面ABEF平面BCDE；(2)求五面体ABCDEF的体积解 设原正六边形中，ACBEO，OFBEO，由正六边形的几何性质可知OAOC，ACBE，DFBE
8、.(1)证明：在五面体ABCDE中，OA2OC26AC2，OAOC，又OAOB，OA平面BCDE.OA平面ABEF，平面ABEF平面BCDE.(2)由BEOA，BEOC知BE平面AOC，同理BE平面FOD，平面AOC平面FOD，故AOCFOD是侧棱长(高)为2的直三棱柱，且三棱锥BAOC和EFOD为大小相同的三棱锥，VABCDEF2VBAOCVAOCFOD2()21()224.13. 如图所示，在平行四边形ABCD中，DAB60，AB2，AD4.将CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求证：ABDE；(2)求三棱锥EABD的侧面积(1)证明在ABD中，因为AB2，AD4
9、，DAB60，所以BD2，所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因为平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.又因为DE平面EBD，所以ABDE.(2)解由(1)知ABBD，因为CDAB，所以CDBD，从而DEBD，在RtDBE中，由DB2，DEDCAB2，得SBDEDBDE2.又因为AB平面EBD，BE平面EBD，所以ABBE.因为BEBCAD4，所以SABEABBE4，因为DEBD，平面EBD平面ABD，所以ED平面ABD，而AD平面ABD，所以EDAD，所以SADEADDE4.综上，三棱锥EABD的侧面积S82.14如图(1)所示，在直角梯形A
10、BEF中(图中数字表示线段的长度)，将直角梯形DCEF沿CD折起，使平面DCEF平面ABCD，连结部分线段后围成一个空间几何体，如图(2)所示(1)求证：BE平面ADF；(2)求三棱锥FBCE的体积(1)证明法一取DF的中点G，连结AG，EG，CE綉DF，EG綉CD.又AB綉CD，EG綉AB.四边形ABEG为平行四边形BEAG.又BE平面ADF，AG平面ADF，BE平面ADF.法二由题图(1)可知BCAD，CEDF，折叠之后平行关系不变BCAD，BC平面ADF，AD平面ADF，BC平面ADF.同理CE平面ADF.BCCEC，BC、CE平面BCE，平面BCE平面ADF.BE平面BCE，BE平面A
11、DF，BE平面ADF.(2)解法一VFBCEVBCEF，由题图(1)，可知BCCD，又平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BC平面ABCD，BC平面DCEF.由题图(1)可知，DCCE1，SCEFCEDC，VFBCEVBvCEFBCSCEF.法二由题图(1)，可知CDBC，CDCE，BCCEC，CD平面BCE.DFCE，点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1，由题图(1)，可知BCCE1，SBCEBCCE，VFBCECDSBCE.法三如图所示，过E作EHFC，垂足为H，由图可知BCCD，平面DCEF平面ABCD，平面DCEF平面ABCDCD，BCDC，BC平面ABCD，BC平面DCEF.又EH平面DCEF，BCEH，EH平面BCF.由BCFC，FC，SBCFBCCF，在CEF中，由等面积法可得EH，VFBCEVEBCFEHSBCF.