1、2.3抛物线2.3.1抛物线及其标准方程学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念(重点)2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程(易错点)3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题(难点)1通过抛物线的定义及标准方程的学习，培养直观想象的素养.2.借助抛物线的定义解题，提升逻辑推理的素养.1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线思考1：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？提示点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线2抛物线的标准方程图形标准方程焦点坐标
2、准线方程y22px(p0)Fxy22px(p0)Fxx22py(p0)Fyx22py(p0)Fy思考2：(1)抛物线方程中p(p0)的几何意义是什么？(2)根据抛物线方程如何确定焦点的位置？提示(1)p的几何意义是焦点到准线的距离(2)根据抛物线方程中一次式2px，2py来确定焦点位置，“x，y”表示焦点在x轴或y轴上，系数“2p”的正负确定焦点在坐标轴的正半轴或负半轴上1抛物线y28x的焦点坐标是()A(2,0)B(2,0)C(4,0)D(4,0)B抛物线y28x的焦点在x轴的负半轴上，且2，因此焦点坐标是(2,0)2抛物线y28x的焦点到准线的距离是()A1B2C4D8C由y28x得p4，
3、即焦点到准线的距离为4.3抛物线x4y2的准线方程是()AyBy1CxDxC由x4y2得y2x，故准线方程为x.求抛物线的标准方程【例1】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)准线方程为y；(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；(3)经过点(3，1)；(4)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且，则p，所以所求抛物线的标准方程为x2y.(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x22my(m0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|5，m5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x210y和x210y.(3)点(3，1)在第三象限，设所
4、求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0)若抛物线的标准方程为y22px(p0)，则由(1)22p(3)，解得p；若抛物线的标准方程为x22py(p0)，则由(3)22p(1)，解得p.所求抛物线的标准方程为y2x或x29y.(4)对于直线方程3x4y120，令x0，得y3；令y0，得x4，抛物线的焦点为(0，3)或(4,0)当焦点为(0，3)时，3，p6，此时抛物线的标准方程为x212y；当焦点为(4,0)时，4，p8，此时抛物线的标准方程为y216x.所求抛物线的标准方程为x212y或y216x.求抛物线的标准方程的方法定义法根据定义求p，最后写标准方程待定系数法设标准方程
5、，列有关的方程组求系数直接法建立恰当的坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程提醒：当抛物线的焦点位置不确定时，应分类讨论，也可以设y2ax或x2ay(a0)的形式，以简化讨论过程1(1)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3C4D8(2)已知抛物线C的准线与直线x3之间的距离等于5，则抛物线C的标准方程为_(1)D(2)y232x或y28x(2)由题意可知抛物线的准线方程为x8或x2，即抛物线C的标准方程为y232x或y28x.抛物线方程的实际应用【例2】某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m，
6、车与箱共高4 m，此车能否通过此隧道？请说明理由思路点拨可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断解建立如图所示的平面直角坐标系设抛物线方程为x22py(p0)，当x3时，y3，即点(3，3)在抛物线上代入得2p3，故抛物线方程为x23y.已知集装箱的宽为3 m，当x时，y，而隧道高为5 m，所以544.故卡车可通过此隧道求抛物线实际应用的五个步骤2一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值解以
7、隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则点B的坐标为，如图所示设隧道所在抛物线方程为x2my，则2m，ma.即抛物线方程为x2ay.将(0.8，y)代入抛物线方程，得0.82ay，即y.欲使卡车通过隧道，应有y3，即3.a0，a12.21，a应取13.与抛物线有关的最值问题探究问题1如图，设A，B是直线l同侧的两点(不重合)，如何在l上寻找一动点P，使得|PA|PB|最小？提示：找B点关于l的对称点B，连接AB交l于P(图略)，则此时点P即为所求2对于不重合的三点A，B，P，当P点处在何处时，|AP|BP|最小？提示：当P位于A，B之间且A，P，B三点共线时，|AP|BP|最小【例
8、3】设P是抛物线y24x上的一个动点，F为抛物线的焦点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求|PB|PF|的最小值思路点拨(1)根据|PA|PF|AF|等号成立的条件求解(2)借助抛物线的定义转化求解解(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程是x1.由抛物线的定义知，点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF，AF与抛物线的交点即为点P，故最小值为，即点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值
9、为.(2)如图，把点B的横坐标代入y24x中，得y2.因为22，所以点B在抛物线内部过点B作BQ垂直于准线，垂足为点Q，交抛物线于点P1，连接P1F.此时，由抛物线定义知，|P1Q|P1F|.所以|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|314，即|PB|PF|的最小值为4.解关于抛物线的最值问题时，首先要注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次是注意平面几何知识的应用，例如两点之间线段最短、三角形中三边之间的不等关系、点与直线上点的连线中垂线段最短等3已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为()AB3CDA由抛物线的定
10、义可知，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离由图可得，点P到准线x的距离d|PF|，易知点A(0,2)在抛物线y22x的外部，连接AF，交y22x于点P，欲使所求距离之和最小，只需A，P，F共线，其最小值为|AF| .1抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上2确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论，有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)3与抛物线有关的问题在求解中注意定义所隐含的
11、转化，借此体会等价转化思想的重要性1判断正误(1)平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹一定是抛物线()(2)抛物线实质上就是双曲线的一支()(3)抛物线的焦点位置由一次项的字母及一次项系数的正负决定()(4)若抛物线的方程为y24x，则其中的焦参数p2.()(5)抛物线y6x2的焦点在x轴的正半轴上()答案(1)(2)(3)(4)(5)2抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为()Ay28xBy212xCy216xDy220xA由题意知6a35，解得a，因此抛物线方程为y28x.3如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米水位下降1米后，水面宽_米2建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py(p0)，则点(2，2)在抛物线上，代入可得p1，所以x22y.当y3时，x26，所以水面宽为2米4若抛物线y22px(p0)上有一点M，其横坐标为9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标解由抛物线方程y22px(p0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x.设点M到准线的距离为d，则d|MF|10，即(9)10，得p2，故抛物线方程为y24x.由点M(9，y)在抛物线上，得y6，故点M的坐标为(9,6)或(9，6)