1、第2讲解三角形问题一、选择题1(2014西安模拟)ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asin Asin Bbcos2 Aa，则()A.B2 C.D2解析因为asin Asin Bbcos2 Aa，所以由正弦定理，得sin Asin Asin Bsin Bsin A，即sin Bsin A，所以.答案A2(2014益阳模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若asin Absin Bcsin Casin B，则角C等于()A.B C.D解析由正弦定理，得a2b2c2ab，所以cos C，又0C，所以C.答案A3(2014吉林省实验中学一模)在ABC中，sin(
2、AB)sin(AB)sin2C，则此三角形的形状是()A等腰三角形B直角三角形C等边三角形D等腰直角三角形解析因为sin(AB)sin(AB)sin2 C，所以sin (AB)sin C，又因为A，B，C为ABC的内角，所以ABC，所以A90，所以ABC为直角三角形答案B4(2014绵阳诊断)在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，则sin C()A.B C.D解析因为在ABC中，BC1，B，ABC的面积S，所以SABCBCBAsin B，即1BA，解得BA4.又由余弦定理，得AC2BC2BA22BCBAcos B，即得AC，由正弦定理，得，解得sin C.答案D5(2014重庆卷)已知ABC
3、的内角A，B，C满足sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8Bab(ab)16C6abc12D12abc24解析由sin 2Asin(ABC)sin(CAB)，得2sin Acos Asin(CB)cos Acos (CB)sin Asin(CB)cos Acos (CB)sin A，即2sin Acos Acos Ccos Bsin Csin B，即2sin Acos (BC)cos Bcos Csin Csin B，化简，得sin Asin Bsin C，由面积公式，得，所以(abc)
4、264S364,512，即abc8,16 ，从而可以排除选项C和D；对于选项A：bc(bc)bca8，即bc(bc)8，故A正确；对于选项B：ab(ab)abc8，即ab(ab)8，故B错误，故选A.答案A二、填空题6(2014福建卷)在ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_解析由余弦定理得，BC2AB2AC22ABACcos A，12AB2162AB4cos 60，解得AB2，SABCABACsin A24sin 602.答案27(2014天津卷)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sin B3sin C，则cos A的值为_解析2sin B3s
5、in C，由正弦定理得2b3c，bc，又bca，a4(bc)，a2c.cos A.答案8(2014江苏卷)若ABC的内角满足sin Asin B2sin C，则cos C的最小值是_解析sin Asin B2sin C.由正弦定理可得ab2c，即c，cos C，当且仅当3a22b2即时等号成立cos C的最小值为.答案三、解答题9(2014北京卷)如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sin BAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sin ADC.所以sin BADsin(ADCB)sin ADCcosBcosADCsin
6、 B.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcos B825228549.所以AC7.10已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B，b，求ac的范围解法一由B，得AC.所以sin Asin Csin Asinsin Asin Acos Asin.又0A，所以A.所以sin1.所以sin Asin C.由正弦定理，得2，所以ac2sin A2sin C2(sin Asin C)所以ac(，2法二由余弦定理，得b2a2c22accos (ac)22acac(ac)2ac(ac)22，当且仅当ac时，取等号所以(ac)24，故ac
7、2.又acb，所以ac2，即ac(，211.如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C. (1)求索道AB的长；(2)问：乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范
8、围内？解(1)在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由正弦定理，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.(2)设乙出发t min后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)200(37t270t50)，因0t，即0t8，故当t(min)时，甲、乙两游客距离最短(3)由正弦定理，得BCsin A500(m)乙从B出发时，甲已走了50(281)550(m)，还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min，由题意得33，解得v，所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内