1、3.1和角公式3.1.1两角和与差的余弦1.能利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.(难点)2.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式.3.能利用两角和与差的余弦公式化简、求值.(重点)基础初探教材整理两角和与差的余弦公式阅读教材P133内容，完成下列问题.两角差的余弦公式cos()cos cos sin sin C两角和的余弦公式cos()cos cos sin sin C判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)，R时，cos()cos cos sin sin .()(2)，R时，cos()cos cos sin sin .()(3)存在实数，使cos
2、()cos cos 成立.()(4)coscossinsincos 2.()【答案】(1)(2)(3)(4)质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_疑问4：_解惑：_小组合作型利用两角和与差的余弦公式化简求值(1)cos 345的值等于()A.B.C. D.(2)化简下列各式：cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)；sin 167sin 223sin 257sin 313.【精彩点拨】(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和或差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.(2)两特殊角之
3、和或差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.(3)对较复杂的式子化简时应注意两角和与差余弦公式的逆用.【自主解答】(1)cos 345cos(36015)cos 15cos(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.【答案】C(2)原式cos21(24)cos 45，所以原式；原式sin(18013)sin(18043)sin(18077)sin(36047)sin 13sin 43sin 77sin 47sin 13sin 43cos 13cos 43cos(1343)cos(30).1.在两角和与差的余弦公式中，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时
4、常将两角的和或差视为一个整体.2.在两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值.(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和或差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值.再练一题1.求下列各式的值：(1)cos ；(2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)；(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40).【导学号：72010075】【解】(1)cos coscos coscos.(2)原式sin 100sin 160cos 200cos 280sin 80sin 20cos 20cos 80(co
5、s 80cos 20sin 80sin 20)cos 60.(3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40)cos(20)(40)cos 60.给值(式)求值(1)已知cos ，则cos_.(2)，为锐角，cos()，cos(2)，求cos 的值.【精彩点拨】(1)可先求得sin ，再用两角差的余弦公式求cos；(2)可考虑拆角即(2)()来求cos .【自主解答】(1)因为cos ，所以sin ，所以coscos cos sin sin .【答案】(2)因为，为锐角，所以0.又因为cos()，所以0，所以02.又因为cos(2)，所以02，所以sin()，sin(2)，所以co
6、s cos(2)()cos(2)cos()sin(2)sin().给值求值的解题步骤：(1)找角的差异.已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，先注意观察已知角与所求表达式中角的差异.(2)拆角与凑角.根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：()，()，(2)()，()()，()()等.(3)求解.结合公式C求解便可.再练一题2.已知cos ，cos()，且，求cos 的值.【解】，(0，).又cos ，cos()，sin ，sin().又()，cos cos()cos()cos sin()sin .已知三角函数值求角已知，均为锐角，且cos ，cos ，求的值.【精彩点
7、拨】本题可先求出cos()的值，结合的范围，再求出的值.【自主解答】，均为锐角，cos ，cos ，sin ，sin ，cos()cos cos sin sin .又sin sin ，0，0.故.1.这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解.2.确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定.再练一题3.已知cos()，cos()，且，求角的值.【解】由，且cos()，得sin().由，且cos()，得sin()，cos 2cos()()cos()cos()sin()sin
8、()1.又，2，2，则.探究共研型利用角的变换求三角函数值探究1若已知和的三角函数值，如何求cos 的值？【提示】cos cos()cos()cos sin()sin .探究2利用()可得cos 等于什么？【提示】cos cos()cos cos()sin sin().探究3若cos cos a，sin sin b，则cos()等于什么？【提示】cos().若0，0，cos，cos，则cos的值为()A. B.C. D.【精彩点拨】把看成与之和，从已知条件中求出与的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大.求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，
9、再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题.【自主解答】0，0，又cos，cos，sin，sin，coscoscoscossinsin.故选C.【答案】C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角.主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察.常见的“变角”有：单角变为和(差)角，如()，等；倍角化为和(差)角，如2()()等等.再练一题4.设cos，sin，其中，求cos 的值.【解】，sin，cos，cos coscoscossinsin.构建体系1.cos 65cos 35sin 65sin 3
10、5等于()A.cos 100B.sin 100C. D.【解析】原式cos(6535)cos 30.【答案】C2.若a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则ab()A. B.C. D.【解析】abcos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.【答案】A3.已知锐角，满足cos ，cos()，则cos 等于()A. B.C. D.【解析】因为，为锐角，cos ，cos()，所以sin ，sin()，所以cos cos()cos()cos sin()sin .故选A.【答案】A4.sin 75_.【解析】sin 75cos 15cos
11、(4530)cos 45cos 30sin 45sin 30.【答案】5.设，都是锐角，且cos ，sin()，求cos 的值.【导学号：72010076】【解】，都是锐角且cos ，cos()，sin ，cos cos()cos()cos sin()sin .我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(二十四)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1.(2016鞍山高一检测)cos 78cos 18sin 78sin 18的值为()A.B.C. D.【解析】原式cos(7818)cos 60.【答案】A2.已知sin ，是第二象限角，则cos(60)为(
12、)A. B.C. D.【解析】因为sin ，是第二象限角，所以cos ，故cos(60)cos cos 60sin sin 60.【答案】B3.在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则ABC一定为()A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形【解析】sin Asin B0，即cos(AB)0，cos Ccos(AB)cos(AB)0，角C为钝角，ABC一定为钝角三角形.【答案】D4.已知：cos()cos sin()sin ，且180270，则tan 等于()【导学号：72010077】A. B.C. D.【解析】由已知得cos()，即cos .又18027
13、0，所以sin ，所以tan .【答案】A5.(2016淄博高一检测)已知cos()，cos()，则cos cos ()A.1 B.1C. D.0【解析】由题意得：两式相加得：cos cos 0，故选D.【答案】D二、填空题6.(2016北京高一检测)sin 75sin 15的值等于_.【解析】原式cos 60cos 15sin 60sin 15cos(6015)cos 45.【答案】7.(2016济南高一检测)已知cos，则cos sin 的值为_.【解析】因为coscoscos sin sin cos sin ，所以cos sin .【答案】8.在ABC中，sin A，cos B，则cos
14、(AB)_.【解析】因为cos B，且0B，所以B，所以sin B，且0A，所以cos A，所以cos(AB)cos Acos Bsin Asin B，.【答案】三、解答题9.已知sin sin sin 0，cos cos cos 0，求证：cos().【证明】由sin sin sin 0，cos cos cos 0得(sin sin )2(sin )2，(cos cos )2(cos )2.得，22(cos cos sin sin )1，即22cos()1，所以cos().10.已知：cos(2)，sin(2)，且，0，求cos().【解】因为，0，所以2.因为cos(2)，所以2.所以si
15、n(2).因为，0，所以2.因为sin(2)，所以02cos cos B.cos()cos cos C.cos()cos cos D.cos()sin sin 【解析】cos(cos cos )cos cos sin sin cos cos cos (cos 1)sin sin cos ，因为，是锐角，所以cos 10，cos (cos 1)0，sin sin 0，cos 0，故cos ()(cos cos )0，即cos()0，sin sin 0，所以cos ()cos cos sin sin cos cos ，同理cos()sin sin ，故C，D错误.【答案】B3.函数f (x)sin 2xcos 2x的最小正周期是_.【解析】由于f (x)cos 2xcos sin 2xsin cos，所以T.【答案】4.已知函数f (x)2cos(其中0，xR)的最小正周期为10.(1)求的值；(2)设，f ，f ，求cos()的值；(3)求f (x)的单调递增区间.【解】(1)因为T10，所以.(2)f 2cos2cos2sin ，所以sin .f 2cos2cos ，所以cos ，因为，所以cos ，sin ，所以cos()cos cos sin sin .(3)f (x)2cos，由2k2k，kZ，得10kx10k，kZ，所以单调递增区间为(kZ).
