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2020-2021学年人教A版数学必修4习题:第二章 平面向量 单元质量评估 WORD版含解析.DOC

1、 第二章单元质量评估一、选择题(每小题5分,共60分)1在ABC中,已知M是BC的中点,设a,b,则(A)A.ab B.ab Cab Dab解析:ba,故选A.2已知下列四个等式:0;00.其中正确的个数为(C)A1 B2 C3 D4解析:因为0,(),00,所以正确的等式有,故选C.3已知向量a(3,4),b(sin,cos),且ab,则tan(A)A. B C. D解析:由ab得3cos4sin0.即4sin3cos,tan.4设四边形ABCD中,有,且|,则这个四边形是(C)A平行四边形 B矩形 C等腰梯形 D菱形解析:由,可知对边AB、DC平行但不相等,又|,所以四边形为等腰梯形5在A

2、BC中,M是BC的中点,AM1,点P在AM上,且满足2,则()等于(A)A B C. D.解析:M为BC中点,2,()|22.6已知向量a(2,1),ab10,|ab|5,则|b|(C)A. B. C5 D25解析:a(2,1),|a|.又|ab|5,|ab|2a2b22ab,(5)2()2|b|2210,|b|225,|b|5.7已知非零向量a,b满足|b|4|a|,且a(2ab),则a与b的夹角为(C)A. B. C. D.解析:由题意,得a(2ab)2a2ab0,即ab2a2,所以cosa,b,所以a,b,故选C.8已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos,向量a3e12e2与b3e1e

3、2的夹角为,则cos等于(C)A. B. C. D.解析:因为a2942329,b2912318,ab929118,所以cos.9已知平面内不共线的四点O,A,B,C满足,则|(D)A13 B31 C12 D21解析:由,得()(),即,所以|2|,故|21.10已知非零向量与满足0且,则ABC为(A)A等边三角形 B直角三角形 C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形解析:由0,知BAC的角平分线与BC垂直,ABAC.又,cosBAC,BAC为ABC的一个内角,则BAC.ABC为等边三角形11如图,过点M(1,0)的直线与函数ysinx(0x2)的图象交于A,B两点,则()等于(B)A1

4、B2 C3 D4解析:设N(2,0),由题意知,()(1,0)(2,0)2.12如图,在ABC中,已知AB2,AC3,BAC,点D为BC的三等分点(靠近点B),则的取值范围为(D)A. B. C. D.解析:易知(0,),所以cos(1,1),则()2()24223cos4(94223cos)(,)二、填空题(每小题5分,共20分)13已知A,B,C为圆O上的三点,若(),则与的夹角为90.解析:由()可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即BAC90,故与的夹角为90.14向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示若cab(,R),则4.解析:设i,j分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向

5、量,则aij,b6i2j,ci3j,所以存在、R,使i3j(ij)(6i2j),所以2,所以4.15在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB2,BC1,ABC60.点E和F分别在线段BC和DC上,且,则的值为.解析:作COAB于点O,建立如图所示的平面直角坐标系,则A,B,C,D,所以E,F,所以.16如图所示,在直角梯形ABCD中,ABDC,ADAB,ADDC2,AB3,点M是ABC内(包括边界)的一个动点,点N是CD边的中点,则的最大值是6.解析:以AB,AD所在直线分别为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),B(3,0),C(2,2),D(0,2),因此CD中点N的坐标为

6、(1,2),直线BC的方程为y2x6.要使最大,则M在BC上,设M(,26)(23)则(,26),(1,2),2(26)123,23,当2时,取得最大值6.三、解答题(共70分)17(本小题10分)在平行四边形ABCD中,如图,E、F依次是对角线AC上的两个三等分点,设a,b,试用a与b表示和.解:b(ab)ab,a(ab)ab.18(本小题12分)已知A(1,2),B(2,8)(1)若,求的坐标;(2)设G(0,5),若,求E点坐标解:(1)(3,6),(1,2),(2,4),(2,4)(1,2)(1,2)(2)设E(x,y),则(x1,y2),(x2,y8),(2,3),解得E点坐标为.1

7、9.(本小题12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知四边形OABC是平行四边形,且点A(4,0),C(1,)(1)求ABC的大小;(2)设点M是OA的中点,点P在线段BC上运动(包括端点),求的取值范围解:(1)由题意得(4,0),(1,)四边形OABC是平行四边形,cosABCcosAOC,ABC.(2)设P(t,),其中1t5,则(t,)(2,0)(1,)(1,),(t,)(1,)t3,故的取值范围是2,220(本小题12分)已知向量a,b满足|a|1,|b|2,a与b的夹角为60.(1)求ab与a的夹角的余弦值;(2)当|atb|取得最小值时,试判断atb与b的位置关系,并说明理由解

8、:(1)设ab与a的夹角为.由已知得ab|a|b|cos601,|ab|,于是cos.(2)(atb)b.理由如下:|atb|,当且仅当t时,|atb|取得最小值,此时(atb)babb2110,所以(atb)b.21(本小题12分)在四边形ABCD中,已知AB9,BC6,2.(1)若四边形ABCD是矩形,求的值;(2)若四边形ABCD是平行四边形,且6,求与夹角的余弦值解:(1)因为四边形ABCD是矩形,所以0.由2,得,所以()()()()22368118.(2)由题意,所以()()22361818,又6,所以186,所以36.又|cos96cos54cos,所以54cos36,即cos.所以与夹角的余弦值为.22(本小题12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a(2,1),A(1,0),B(cos,t)(1)若a,且|,求向量OB的坐标;(2)若a,求ycos2cos2的最小值解:(1)因为(cos1,t),且a,所以cos12t.又因为|,所以(cos1)2t25.由得,5t25,所以t21,所以t1.当t1时,cos3(舍去);当t1时,cos1.故B(1,1),所以(1,1)(2)由a可知t22cos,所以ycos2coscos2cos2,所以当cos时,y取得最小值.

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