1、第八章立体几何初步第5课时空间几何体的表面积和体积考情分析考点新知了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积、体积中的运用 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式). 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.1. (必修2P69习题10改编)用长、宽分别是3与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面面积为_答案：或解析：有两种情况：以3为圆柱的高时，圆柱底面积为，以为圆柱的高时，圆柱底面积为.2. (原创)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_. 答
2、案：解析：几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积V42.3. (2013南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_cm.答案：2解析：设圆锥的底面半径为r，则2r3，所以r1，此圆锥的高为2.4. (必修2P55练习4改编)已知正方形ABCD的边长为2，E、F分别为BC、DC的中点，沿AE、EF、AF折成一个四面体，使B、C、D三点重合，则这个四面体的体积为_答案：解析：折成的四面体为三棱锥AECF，SECF11，高为AB2，所以这个四面体的体积为VSECFAB2.5. (必修2P69复习题5改编)若长方体三个面的面积分别为，则此长方体的外接
3、球的表面积是_答案：6解析：设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为R，外接球的表面积为S46.1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是S直棱柱侧ch，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱柱体的体积公式是V柱体Sh2. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，该棱锥为正棱锥正棱锥的侧面积公式是S正棱锥侧ch；锥体的体积为V锥体Sh3. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是S正棱台侧(cc)h；台体的体积公式是V台体h(SS)4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱
4、的侧面积公式是S圆柱侧cl2r，圆锥的侧面积公式为S圆锥侧clrl，圆台的侧面积公式为S圆台侧(cc)l(rr)l5. 球体的体积公式是V球R3，其中R为球的半径备课札记题型1与几何体的表面积有关的问题例1如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为6，则以正方体ABCDA1B1C1D1的中心为顶点，以平面AB1D1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_答案：(1824)解析：设O为正方体外接球的球心，则O也是正方体的中心，O到平面AB1D1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为S1(2)224，圆锥的
5、母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为S22318.因此圆锥的全面积为SS2S11824(1824).如图，在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PAPBPCa，求这个球的表面积解：如题图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O，球心到该圆面的距离为d，在三棱锥PABC中，PA、PB、PC两两垂直，PAPBPCa，ABACBCa，且点P在ABC内的射影是ABC的中心O，由正弦定理，得 2r，ra.又根据球的截面圆性质，有OO平面ABC，而PO平面ABC，P、O、O三点共线，球的半径R.又POa，OORad，R2，解得Ra.S球4R23a2.题型2与几何体体积
6、有关的问题例2如图所示，在RtABC中，AC6，BC3，ABC90，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE4.如图所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点(1) 求证：DE平面BCD；(2) 若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积图图(1) 证明：在题图中， AC6，BC3，ABC90， ACB60. CD为ACB的平分线， BCDACD30. CD2. CE4，DCE30， DE2.则CD2DE2EC2. CDE90.DEDC.在题图中， 平面BCD平面ACD，平面BCD平面ACDCD，DE平面ACD， D
7、E平面BCD.(2) 解：在题图中， EF平面BDG，EF平面ABC，平面ABC平面BDGBG， EFBG. 点E在线段AC上，CE4，点F是AB的中点， AEEGCG2.作BHCD交于H. 平面BCD平面ACD， BH平面ACD.由条件得BH.SDEGSACDACCDsin30.三棱锥B-DEG的体积VSDEGBH.在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图)将ABD沿着AD折起到ABD的位置，连结BC(如图)(1) 若平面ABD平面ADC，求三棱锥B-ADC的体积；(2) 记线段BC的中点为H，平面BED与平面HFD的交线为l，求证：HFl
8、；(3) 求证：ADBE.图图(1) 解：在直角ABC中，D为BC的中点，所以ADBDCD.又B60，所以ABD是等边三角形取AD中点O，连结BO，所以BOAD.因为平面ABD平面ADC，平面ABD平面ADCAD，BO平面ABD，所以BO平面ADC.在ABC中，BAC90，B60，AB1，D为BC的中点，所以AC，BO.所以SADC1.所以三棱锥BADC的体积为VSADCBO.(2) 证明：因为H为BC的中点，F为CE的中点，所以HFBE.又HF平面BED，BE平面BED，所以HF平面BED.因为HF平面HFD，平面BED平面HFDl，所以HFl.(3) 证明：连结EO，由(1)知，BOAD.
9、因为AE，AO，DAC30，所以EO.所以AO2EO2AE2.所以ADEO.又BO平面BEO，EO平面BEO，BOEOO，所以AD平面BEO.又BE平面BEO，所以ADBE.题型3简单几何体的综合应用例3(2013徐州调研)在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为V(x)x2sin60hax2x3(0x0；当x时，V(x)0，所以函数V(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数V(x)的最大值：Vaa3.答：当箱子
10、底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1) 求该四面体的体积的最大值；(2) 当四面体的体积最大时，求其表面积解： (1) 如图，在四面体ABCD中，设ABBCCDACBDa，ADx，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD平面BPC， VABCDVABPCVDBPCSBPCAPSBPCPDSBPCADa xa3(当且仅当xa时取等号) 该四面体的体积的最大值为a3.(2) 由(1)知，ABC和BCD都是边长为a的正三角形，ABD和ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a， S表2a22aa2aa2a2.【示例】(本题
11、模拟高考评分标准，满分14分)如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱ABC-A1B1C1，其中D是AB的中点，E是BC的三等分点求几何体BDEA1B1C1的体积学生错解：解 BD，BE，DBE60， SDBEBDBEsinDBEa2，SA1B1C1A1B1B1C1sin60a2.由棱台体积公式得VBDEA1B1C1h(SBDESA1B1C1)ha2h.审题引导： (1) 弄清组合体的结构，这里几何体DBEA1B1C1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；(2) 运用体积公式进行计算规范解答： 解：如图，取BC中点F，连结DF、C1D、C1E、C1F，得正三棱台DBFA1B1C1及三棱锥
12、C1DEF.SA1B1C1a2，SDBFSABCa2，(4分)VDBFA1B1C1h(SDBFSA1B1C1)h(a2a2)a2h.(8分) VC1DEFha2a2h，(10分) VBDEA1B1C1VDBFA1B1C1VC1DEFa2ha2ha2h.(14分)错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体DBEA1B1C1不是棱台1. (2013南京调研)如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为_cm.答案：13解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的
13、实线部分，则可知所求最短路线的长为13(cm)2. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_答案：解析：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l18 cm，由l2r，代入数据即可得182r，解得r12 cm，因此所求角的余弦值即为.3. (2013济南模拟改)如图所示，在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且MNAM，若侧棱SA2，则正三棱锥SABC外接球的表面积是_答案：36解析：在正三棱锥S-ABC中，易证SBAC，又MNBS， MNAC. MNAM， MN平面ACM. MNSC， CSBCMN90，即侧面为直角三角形，底
14、面边长为2.此棱锥的高为2，设外接球半径为R，则(2R)2R2， R3， 外接球的表面积是36.4. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式做出圆台的轴截面如图，由题意知，BF14(单位寸，下同)，OC6，OF18，OG9，即G是OF中点，所以GE为梯形的中位线，所以GE10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(10036)588.盆口的面积为14
15、2196，所以3，即平地降雨量是3寸5. 如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB.(1) 求证：CE平面PAD；(2) 若PAAB1，AD3，CD，CDA45，求四棱锥P-ABCD的体积(1) 证明：因为PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE.因为ABAD，CEAB，所以CEAD.又PAADA，所以CE平面PAD.(2) 解：由(1)可知CEAD.在RtECD中，DECDcos451，CECDsin451.因为ABCE1，ABCE，所以四边形ABCE为矩形所以SABCDSABCESECDABAECEDE1211.又PA平面ABCD，PA1
16、，所以VP-ABCDSABCDPA1.1. (2013福州模拟)如图所示，已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1，且AA1底面ABC，则三棱锥B1ABC1的体积为_答案：解析：三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积，三棱锥AB1BC1的高为，底面积为，故其体积为.2. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_答案：48解析：因为球的体积为，柱体的高为2r4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r2，所以底面边长a4，所以V柱(4)2448.3. (2013杭州模拟)如图，在四边形ABCD中，DAB90，ADC13
17、5，AB5，CD2，AD2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得CE2，DE2，CB5，S表面S圆台侧S圆台下底S圆锥侧(25)52522(604)，VV圆台V圆锥(2252)4222.4. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)解：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为1.22r， 塑料片面积Sr22r(1.22r)r22.4r4r23r22.4r3(r20.8r)3(r0.4)20.48. 当r0.4时，S有最大值0.48，约为1.51平方米1. 几何体体积的求法：(1) 若所给几何体为柱、锥、台、球等简单几何体，可直接套用公式计算求解；(2) 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解熟练掌握柱、锥、台、球等各种简单几何体的结构特征，弄清组合体的结构十分必要2. 求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法：选择恰当的棱或母线将几何体展开，转化为求平面上两点间的最短距离请使用课时训练(B)第5课时(见活页)备课札记
