1、1.4.3正切函数的性质与图象考试标准课标要点学考要求高考要求正切函数性质bb正切函数图象bb知识导图学法指导1.学习本节内容时要重点关注正切函数的定义域，会用“三点两线法”画正切函数的图象2从正切函数的几何画法体验直线x为正切函数图象的两条“渐近线”，进一步体会正切函数的值域为(，).函数ytan x的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R周期奇偶性奇函数单调性在开区间，kZ上都是增函数如何作正切函数的图象(1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐(2)“三点两线”法“三点”是指，(0,0)，；“两线”是指x和x. 在“三点”确定的情况
2、下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)函数yAtan(x)的周期公式为T.()(2)正切函数在R上是单调递增函数()(3)正切函数是奇函数，原点是唯一的一个对称中心()答案：(1)(2)(3)2下列说法正确的是()Aytan x是增函数Bytan x在第一象限是增函数Cytan x在某一区间上是减函数Dytan x在区间(kZ)上是增函数解析：由正切函数的图象可知D正确答案：D3函数ytan的定义域是()A. B.C. D.解析：由xk，kZ，得xk，kZ.答案：D4已知函
3、数f(x)tan，则函数f(x)的最小正周期为()A. B.C D2解析：解法一函数ytan(x)的周期T，可得T.解法二由诱导公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期为T.答案：B类型一求函数的定义域例1求下列函数的定义域：(1)y；(2)ylg(tan x)【解析】(1)要使函数y有意义，需使所以函数的定义域为x|xR且xk，xk，kZ.(2)要使ylg(tan x)有意义，需使，所以函数的定义域是.求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的xk，kZ等问题方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证
4、正切函数ytan x有意义即xk，kZ.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解跟踪训练1(1)函数y的定义域为()A.x|x0Bx|xk，kZC.D.(2)求函数ylg(1tan x)的定义域解析：(1)函数y有意义时，需使所以函数的定义域为x|xk，且xk，kZx|x，kZ.(2)由题意得即1tan x1.在内，满足上述不等式的x的取值范围是，).又ytan x的周期为，所以所求函数的定义域是(kZ)(1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0(3)真数大于0(4)正切函数xk，kZ类型二正切函数的单调性及其应用例2求函数ytan的单调区间【解析】ytantan.由k3xk(
5、kZ)，得x(kZ)所以函数ytan的单调递减区间为(，)(kZ)先利用诱导公式将函数转化为ytan，再由k3x0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kZ，解得x的范围即可若0，可利用诱导公式先把yAtan(x)转化为yAtan(x)Atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可跟踪训练2本例(2)函数变为ytan，求该函数的单调区间解析：ytantan，由kxk，kZ，得2kx2k，kZ，所以函数ytan的单调递减区间是(2k，2k)，kZ.类型三正切函数图象与性质的综合应用例3设函数f(x)tan.(1)求函
6、数f(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；(2)求不等式1f(x)的解集【解析】(1)由k(kZ)得x2k(kZ)所以f(x)的定义域是x|x2k，kZ.因为，所以最小正周期T2.由kk(kZ)，得2kx2k(kZ)所以函数f(x)的单调递增区间是(kZ)由(kZ)，得xk(kZ)，故函数f(x)的对称中心是，kZ.(2)由1tan，得kk(kZ)，解得2kx2k(kZ)所以不等式1f(x)的解集是x|2kx2k，kZ.由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点由tan的范围确定的范围是本题的难点方法归纳解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中
7、心是(kZ)，不存在对称轴(2)单调性：正切函数在每个(kZ)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的跟踪训练3已知，且1tan 0，则角的取值范围是_解析：1tan 0，所以tan 1，作出正切函数ytan ，y1的图象，由图象可得，当时，满足不等式的角的范围是，即的取值范围是.答案：对于不等式tana，作出正切函数的图象，作出ya的图象，借助图象观察已知范围内，满足不等式的角的范围.1.4.3基础巩固(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1函数f(x)tan的最小正周期为()A. B.C D2解析：方法一函数f(x)tan(x)的周期是T，直接利用公式，可得T.方法
8、二由诱导公式可得tantantan，所以ff(x)，所以周期T.答案：A2函数y(x)的值域是()A(1,1) B(，1)(1，)C(，1) D(1，)解析：x，1tan xbc Babac Dba325可得tan 3tan 2tan(5)答案：C4函数y3tan 2x的对称中心为()A.(kZ) B.(kZ)C.(kZ) D.(kZ)解析：令2x(kZ)，得x(kZ)，则函数y3tan 2x的对称中心为(kZ)，故选B.答案：B5下列关于函数ytan的说法正确的是()A在区间上单调递增B最小正周期是C图象关于点成中心对称D图象关于直线x成轴对称解析：令kxk，解得kxk，kZ，显然不满足上述
9、关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为，故B正确；令x，解得x，kZ，任取k值不能得到x，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数ytan的图象也没有对称轴，故D错误故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6函数ytan的定义域为_解析：由6xk(kZ)，得x(kZ)答案：7函数y3tan(x)，x的值域为_解析：函数y3tan(x)3tan x，因为正切函数在上是增函数，所以3”或“”)解析：因为90135138270，又函数ytan x在区间上是增函数，所以tan 135tan 138.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9画出函数y|tan x|的图象，并根据图象判
10、断其单调区间和奇偶性解析：由函数y|tan x|得y根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图由图象可知，函数y|tan x|是偶函数函数y|tan x|的单调增区间为，kZ，单调减区间为，kZ.10不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：(1)tan与tan；(2)tan与tan.解析：(1)因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.(2)因为tantan，tantan，又0tan，所以tantan，即tantan.能力提升(20分钟，40分)11如果函数ytan(x)的图象经过点，那么可能是()A BC. D.解析：yta
11、n(x)的图象经过点，tan0，即k，kZ，则k，kZ，当k0时，故选A.答案：A12已知函数ytan x在内是单调减函数，则的取值范围是_解析：函数ytan x在内是单调减函数，则有0，且周期T，即，故|1，10.答案：1,0)13(1)求ytan的单调区间；(2)比较tan与tan的大小解析：(1)由题意，kxk，kZ，即kxk，kZ.所以2kx2k，kZ，故单调增区间为(kZ)(2)tantantan，tantantantantan，因为，ytan x在上单调递增，所以tantan.14已知函数f(x)3tan.(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；(2)试比较f()与f的大小解析：(1)因为f(x)3tan3tan，所以T4.由kk(kZ)，得4kx4k(kZ)因为y3tan在(kZ)内单调递增，所以f(x)3tan，在(kZ)内单调递减故原函数的最小正周期为4，单调递减区间为(kZ)(2)f()3tan3tan3tan，f3tan3tan3tan，因为0，且ytan x在上单调递增，所以tanf.