1、第3课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值正、余弦函数的图象与性质正弦函数余弦函数图象值域1,11,1单调性在(kZ)上递增，在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增，在2k，2k(kZ)上递减最值x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1x2k(kZ)时，ymax1；x2k(kZ)时，ymin1(1)正、余弦函数的单调性：求解或判断正弦函数、余弦函数的单调区间(或单调性)是求与之相关的复合函数值域(最值)关键的一步；单调区间要在定义域内求解；确定含有正弦函数或余弦函数的复合函数的单调性时，要注意用复合函数法来判断(2)正、余弦函数的最值明确正、余弦函数的有界性，即|sinx|
2、1, |cosx|1；对有些函数，其最值不一定就是1或1，要依赖函数的定义域来决定；形如yAsin(x)(A0，0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令xz，将函数转化为yAsinz的形式求最值小试身手1判断下列命题是否正确. (正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦函数ysin x在R上是增函数()(2)正弦函数ysin x的一个增区间是0，()(3)当余弦函数ycos x取最大值时，x2k，kZ.()答案：(1)(2)(3)2函数ysin，xR在()A.上是增函数 B0，上是减函数C，0上是减函数 D，上是减函数解析：ysincos x，所以在区间，0上是增函数，在0，上是减函数答案
3、：B3下列函数中，既为偶函数又在(0，)上单调递增的是()Aycos|x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：ycos|x|在上是减函数，排除A；ycos|x|cos|x|，排除B；ysinsincos x是偶函数，且在(0，)上单调递增，符合题意；ysin在(0，)上是单调递减的答案：C4函数y12cosx的最小值，最大值分别是()A1,3 B1,1C0,3 D0,1解析：1cosx1，1y3.答案：A类型一正、余弦函数的单调性例1(1)函数f(x)sin的一个递减区间是()A.B，0C.D.(2)函数ycos的单调递增区间是_【解析】(1)由x，可得x.所以是函数的一个减区间(2
4、)因为2k2x 2k，kZ.所以kxk，kZ.【答案】(1)D(2)(kZ)(1)由A，B，C，D中x的范围，求出x的范围，验证是否为减区间(2)将2x代入到2k，2k，kZ中，解出x的范围，即可得增区间方法归纳求与正、余弦函数有关的单调区间的策略及注意点(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间(2)在求形如yAsin(x)(A0，0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“x”看作一个整体“z”，即通过求yAsinz的单调区间而求出原函数的单调区间求形如yAcos(x)(A0，0)的函数的单调区间同上(3)0后求解；若A0，则单调性相反跟踪训练1(1)下列函数，在上是增函数
5、的是()A.ysin xBycos xCysin 2xDycos 2x(2)求函数y2sin的单调递增区间解析：(1)因为ysin x与ycos x在上都是减函数，所以排除A，B.因为x，所以2x2.因为ysin 2x在2x，2内不具有单调性，所以排除C.(2)由y2sin，得y2sin.要求函数y2sin的单调递增区间，只需求出函数y2sin的单调递减区间令2k2x2k，kZ，解之得kxk，kZ.函数的单调递增区间为(kZ)答案：(1)D(2)(kZ)(1)逐个验证选项把不符合题意的排除(2)首先利用诱导公式化简函数为y2sin，再利用性质求增区间类型二比较三角函数值的大小例2比较下列各组数
6、的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos.【解析】(1)函数ysin x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscos2cos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.利用诱导公式，将角化到正弦函数或余弦函数的一个单调区间内，利用单调性判断大小方法归纳比较三角函数值大小的方法(1)利用诱导公式转化为求锐角三角函数值(2)不同名的函数化为同名函数(3)自变量不在同一单调区间化至同一单调区间跟踪训练2比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)cos 870与sin 980.解析：(1)sinsinsin，s
7、insinsin，因为ysin x在上是增函数，所以sinsin，即sinsin.(2)cos 870cos(720150)cos 150，sin 980sin(720260)sin 260sin(90170)cos 170，因为0150170cos 170，即cos 870sin 980.首先利用诱导公式化成同名的三角函数，把角转化为同一单调区间，最后利用函数的单调性比较大小类型三正、余弦函数的最值问题例3函数y2cos1的最小值是_，此时x_.【解析】当2x2k，kZ，xk，kZ时，ymin213.【答案】3k，kZ观察函数解析式特点，由ycos的最小值，求函数y2cos1的最小值，并求x
8、的取值方法归纳求正、余弦函数最值问题的关注点(1)形如yasin x(或yacos x)的函数的最值要注意对a的讨论(2)将函数式转化为yAsin(x)或yAcos(x)的形式(3)换元后配方利用二次函数求最值跟踪训练3求下列函数的值域：(1)ycos，x；(2)y2sin2x2sin x，x.解析(1)由ycos，x0，可得x，函数ycos x在区间上单调递减，所以函数的值域为.(2)令tsin x，y2t22t221.x，sin x1，即t1，1y，函数f(x)的值域为.(1)先由x的范围求出x的范围，再求值域(2)先换元令tsin x，再利用二次函数求值域基础巩固(25分钟，60分)一、
9、选择题(每小题5分，共25分)1已知函数ysin x和ycos x在区间M上都是增函数，那么区间M可以是()A. B.C. D.解析：ysin x在和上是增函数，ycos x在(，2)上是增函数，所以区间M可以是.答案：D2函数y2sin x的最大值及取最大值时x的值为()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)解析：当x2k(kZ)时，ysin x有最小值1，函数y2sin x有最大值3.答案：C3符合以下三个条件：上递减；以2为周期；为奇函数这样的函数是()Aysin x Bysin xCycos x Dycos x解析：在上递减
10、，可以排除A，是奇函数可以排除C，D.答案：B4下列不等式中成立的是()Asinsin Bsin 3sin 2Csinsin Dsin 2cos 1解析：因为sin 2coscos，且021cos 1，即sin 2cos 1.答案：D5函数y2sin(x，0)的单调递增区间是()A.B.C. D.解析：方法一y2sin，其单调递增区间为2kx2k，kZ，则2kx2k，kZ.由于x，0，所以其单调递增区间为.方法二函数在取得最大值，且其最小正周期为2，则其单调递增区间为，即，又x，0，所以其单调递增区间为.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6函数ycos的单调递减区间为_解析：ycosc
11、os，由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以函数的单调减区间为(kZ)答案：(kZ)7函数f(x)sin在区间上的最小值为_解析：当0x时，2x，因为函数ysin x在上的函数值恒为正数，在上的函数值恒为负数，且在上为增函数，所以函数f(x)的最小值为f(0).答案：8sin_sin(填“”或“”)解析：sinsinsin，因为0，ysin x在上单调递增，所以sinsin，即sin三、解答题(每小题10分，共20分)9求下列函数的单调区间：(1)ycos 2x；(2)y2sin.解析：(1)函数ycos 2x的单调递增区间、单调递减区间分别由下面的不等式确定：2k2x2k，kZ,2k2
12、x2k，kZ.kxk，kZ，kxk，kZ.函数ycos 2x的单调递增区间为，kZ，单调递减区间为，kZ.(2)y2sin2sin，函数y2sinx的单调递增、递减区间分别是函数y2sin的单调递减、递增区间令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ，即函数y2sin的单调递增区间为，kZ.令2kx2k，kZ.即2kx2k，kZ.即函数y2sin的单调递减区间为，kZ.10求下列函数的最大值和最小值：(1)y32cos；(2)y2sin.解析：(1)1cos1当cos1时，ymax5；当cos1时，ymin1.(2)x，02x，0sin1.当sin1时，ymax2；当sin0时，ymin0.能力提
13、升(20分钟，40分)11函数y2sin(0)的周期为，则其单调递增区间为()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析：周期T，2，y2sin.由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.答案：C12函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_解析：因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有a0时满足条件，故a(，0答案：(， 013比较下列各组数的大小：(1)cos与cos；(2)sin 194与cos 160.解析：(1)coscos，coscoscos，0cos，即coscos.(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，sin 14sin 70，即sin 194cos 160.14求函数y32sinx的最值及取到最值时的自变量x的集合解析：1sinx1，当sinx1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymax5，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ；当sinx1，x2k，kZ，即x4k，kZ时，ymin1，此时自变量x的集合为x|x4k，kZ
