1、贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上）1（5分）已知集合A=x|3x4，B=x|2x5，则AB=（）Ax|3x5Bx|2x4Cx|2x5Dx|3x42（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）Acm3Bcm3Ccm3Dcm33（5分）函数则的值为（）ABCD184（5分）如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数，那么实数a取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da5
2、5（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD6（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）ABx+y+1=0Cx+y1=0D7（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，则下列四个命题中，假命题是（）A若mn，m，则nB若m，m，则Cm，mn，n则Dm，=n，则mn8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A10B15C21D289（5分）等比数列an的各项均为正数且a4a7+a5a6=18，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log3510（5分）
3、函数y=lgx的零点所在的大致区间是（）A（6，7）B（7，8）C（8，9）D（9，10）11（5分）设a=log20.7，b=40.9，c=80.48，d=0.51.5，则有（）AabcdBacdbCbacdDbdac12（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13（5分）函数的定义域是14（5分）设向量，且，则cos2=15（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的
4、面积为16（5分）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根，则数k的取值范围是三、解答题：本题共6小题，共70分请将解答写在答题卡指定位置17（10分）在ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且b2+c2a2=bc（1）求角A 的大小；（2）设函数时，若，求b的值18（12分）如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点（）证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比19（12分）为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：
5、组别频数频率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合计MN（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？画出频率分布直方图；（2）全体初三女生的平均身高是多少？初三女生身高的中位数是多少？（3）从身高为161.5以上选取2人，求她们在同一身高段的概率20（12分）已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn21（1
6、2分）函数是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）022（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDEPA=1，AD=2（1）证明：BD平面PAC；（2）求二面角BPCA的正切值贵州省遵义市航天高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填写在答题卡上）1（5分）已知集合A=x|3x4，B=x|
7、2x5，则AB=（）Ax|3x5Bx|2x4Cx|2x5Dx|3x4考点：交集及其运算 专题：计算题分析：题设中两个集合已经是最简，故由集合的交集的定义直接求出它们的公共部分，得到交集解答：解：集合A=x|3x4，集合B= x|2x5，AB=|2x4故选B点评：本题考查交集及其运算，解答本题关键是理解交集的定义，由定义进行运算求出交集2（5分）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），那么可得这个几何体的体积是（）Acm3Bcm3Ccm3Dcm3考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题分析：由三视图判断几何体为三棱锥，求出三棱锥的高与底面面积，代入棱锥的体积公式计算解答：解
8、：由三视图判断几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形底边长和高都为2棱锥的体积V=222=（cm）故选C点评：本题考查由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及相关数据所对应的几何量3（5分）函数则的值为（）ABCD18考点：函数的值 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由，由f（3）=3233=3，能求出的值解答：解：，f（3）=3233=3，=f（）=1（）2=，故选C点评：本题考查分段函数的函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答4（5分）如果函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数，那么实数a取值范围是（）Aa3Ba3Ca5Da5考点：二次函数的
9、性质 专题：计算题分析：先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（，4上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果解答：解：f（x）=x2+2（a1）x+2=（x+a1）2+2（a1）2其对称轴为：x=1a函数f（x）=x2+2（a1）x+2在（，4上是减函数1a4a3故选A点评：本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键5（5分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）ABCD考点：数列的求和；等差数列的前n项和 专题：计算题分析：由等差数列的通项公式及求和公式，结合
10、已知可求a1，d，进而可求an，代入可得=，裂项可求和解答：解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n1）d=1+（n1）1=n=1=故选A点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6（5分）垂直于直线y=x+1且与圆x2+y2=1相切于第一象限的直线方程是（）ABx+y+1=0Cx+y1=0D考点：圆的切线方程；直线的一般式方程 专题：直线与圆分析：设所求的直线为l，根据直线l垂直于y=x+1，设l方程为y=x+b，即x+y+b=0根据直线l与圆x2+y2=1相切，得圆心
11、0到直线l的距离等于1，由点到直线的距离公式建立关于b的方程，解之可得b=，最后根据切点在第一象限即可得到满足题意直线的方程解答：解：设所求的直线为l，直线l垂直于直线y=x+1，可得直线l的斜率为k=1设直线l方程为y=x+b，即x+yb=0直线l与圆x2+y2=1相切，圆心到直线的距离d=，解之得b=当b=时，可得切点坐标（，），切点在第三象限；当b=时，可得切点坐标（，），切点在第一象限；直线l与圆x2+y2=1的切点在第一象限，b=不符合题意，可得b=，直线方程为x+y=0故选：A点评：本题给出直线l垂直于已知直线且与单位圆相切于第一象限，求直线l的方程着重考查了直线的方程、直线与直线
12、位置关系和直线与圆的位置关系等知识，属于基础题7（5分）已知两个不同的平面、和两条不重合的直线m、n，则下列四个命题中，假命题是（）A若mn，m，则nB若m，m，则Cm，mn，n则Dm，=n，则mn考点：平面的基本性质及推论 专题：证明题分析：根据直线与平面垂直的性质和直线与平面所成角的定义，得到A项正确；根据直线与平面垂直的定义，结合平面与平面平行的判定定理，得到B项正确；根据直线与平面垂直的性质定理和平面与平面垂直的判定定理，得到C项正确；根据直线与平面平行的性质定理的大前提，可得D项是错误的由此可得正确答案解答：解：对于A，m，直线m与平面所成角为90，mn，n与平面所成角，等于m与平面
13、所成角，n与平面所成的角也是90，即“n”成立，故A正确；对于B，若m，m，则经过m作平面，设=a，=ba，b在平面内，ma且mb可得a、b是平行直线a，b，aba经过m再作平面，设=c，=d用同样的方法可以证出ca、c是平面内的相交直线，故B正确；对于C，m，mn，n，又n，故C正确；对于D，m，=n，当直线m在平面内时，mn 成立但题设中没有m这一条，故D不正确故选D点评：本题以命题判断真假为例，着重考查了空间线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，以及平面与平面的平行、垂直的判定定理等知识点，属于基础题8（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的S值为（）A10B15C21D28考点：程序
14、框图 专题：算法和程序框图分析：由程序框图的流程依次计算运行的结果，直到满足n5，运行终止，计算输出S的值解答：解：由程序框图知，第一次运行n=1，S=0+1；第二次运行n=2，S=0+1+2；第三次运行n=3，S=0+1+2+3；第四次运行n=4，S=0+1+2+3+4；第五次运行n=5，S=0+1+2+3+4+5；第六次运行n=6，S=0+1+2+3+4+5+6，满足n5，运行终止，输出S=0+1+2+3+4+5+6=21故选C点评：本题是循环结构的程序框图，根据框图的运行流程判断程序框图的功能及终止程序运行的n值是解答本题的关键9（5分）等比数列an的各项均为正数且a4a7+a5a6=1
15、8，则log3a1+log3a2+log3a10=（）A12B10C8D2+log35考点：等比数列的通项公式；对数的运算性质 专题：等差数列与等比数列分析：由a4a7+a5a6=18，利用等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=9=ana11n，再利用对数的运算法则即可得出解答：解：a4a7+a5a6=18，由等比数列的性质可得：a4a7=a5a6=9=ana11n（nN*，n10），log3a1+log3a2+log3a10=log3（a1a2a10）=10故选：B点评：本题考查了等比数列的性质、对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题10（5分）函数y=lgx的零点所在的大致
16、区间是（）A（6，7）B（7，8）C（8，9）D（9，10）考点：函数零点的判定定理 专题：计算题分析：由于函数y=f（x）=lgx在（0，+）上是增函数，f（9）0，f（10）0，由此得出结论解答：解：由于函数y=f（x）=lgx在（0，+）上是增函数，f（9）=lg910，f（10）=1=0，f（9）f（10）0，故函数y=lgx的零点所在的大致区间是（9，10），故选D点评：本题考查函数零点的定义以及函数零点判定定理的应用，属于基础题11（5分）设a=log20.7，b=40.9，c=80.48，d=0.51.5，则有（）AabcdBacdbCbacdDbdac考点：对数值大小的比较 专
17、题：函数的性质及应用分析：根据对数函数的图象和性质可得a0，但b，c，c均大于0，结合指数的运算性质，将三者都化为以2为底后，结合指数函数的单调性，可得答案解答：解：a=log20.7（，0），b=40.9=21.8，c=80.48=21.44，d=0.51.5=21.5，y=2x为增函数，且1.441.51.8，故acdb，故选：B点评：本题考查的知识点是数的大小比较，指数函数和对数函数的单调性，其中熟练掌握指数函数和对数函数的图象和性质是解答的关键12（5分）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4考点：基本不等式；二元一次
18、不等式（组）与平面区域 专题：不等式的解法及应用分析：已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13（5分）函数的定义域是
19、（，1）考点：对数函数的定义域 专题：计算题分析：根据题意列出方程组解此不等式组求得x的范围，即为所求解答：解：要使函数有意义，则解得：x1故函数的定义域为（，1），故答案为 （，1）点评：本题考查函数的定义域的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14（5分）设向量，且，则cos2=考点：二倍角的余弦；平行向量与共线向量 专题：计算题分析：由两向量的坐标，及两向量平行时满足的关系列出关系式，求出sin2的值，将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，把sin2的值代入即可求出值解答：解：=（1，sin），=（3sin，1），且，3sin2=1，即sin2=，则cos2=12sin2=12=
20、故答案为：点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键15（5分）如图的矩形，长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为考点：几何概型 专题：应用题分析：先由黄豆试验估计，黄豆落在阴影部分的概率，再转化为几何概型的面积类型求解解答：解：根据题意：黄豆落在阴影部分的概率是矩形的面积为10，设阴影部分的面积为s则有s=故答案为：点评：本题主要考查实验法求概率以及几何概型中面积类型，将两者建立关系，引入方程思想16（5分）已知函数若关于x 的方程f（x）=k有两个不同的实根
21、，则数k的取值范围是（0，1）考点：根的存在性及根的个数判断 专题：函数的性质及应用分析：要求程f（x）=k有两个不同的实根是数k的取值范围，根据方程的根与对应函数零点的关系，我们可以转化为求函数y=f（x）与函数y=k交点的个数，我们画出函数的图象，数形结合即可求出答案解答：解：函数的图象如下图所示：由函数图象可得当k（0，1）时方程f（x）=k有两个不同的实根，故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中根据方程的根与对应函数零点的关系，将方程问题转化为函数问题是解答的关键三、解答题：本题共6小题，共70分请将解答写在答题卡指定位置17（10分）在ABC中，a
22、、b、c分别为内角A、B、C的对边，且b2+c2a2=bc（1）求角A 的大小；（2）设函数时，若，求b的值考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用 专题：计算题分析：（I）利用三角形的余弦定理求出cosA，根据A的范围，求得A的值（） 利用二倍角公式及两角和的正弦公式，化简f（x） 为 ，由 求得，再根据B的范围，求得B的值，再由正弦定理求得b的值解答：解：（）在ABC中，由余弦定理知，注意到在ABC中，0A，所以为所求（），由，得，注意到，所以，由正弦定理，所以为所求点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，已知三角函数值求角的大小，化简f（x） 为 ，是解题的关键18（12分）如图
23、，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB=90，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点（）证明：平面BDC1平面BDC（）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比考点：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题；证明题分析：（）由题意易证DC1平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1平面BDC；（）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=11=，三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，于是可得（VV1）：V1=1：1，从而可得答案解答：证明：（1）由题设知BCCC1，BCAC，CC1AC=C，BC平面ACC1A1，又DC
24、1平面ACC1A1，DC1BC由题设知A1DC1=ADC=45，CDC1=90，即DC1DC，又DCBC=C，DC1平面BDC，又DC1平面BDC1，平面BDC1平面BDC；（2）设棱锥BDACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=11=，又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1，（VV1）：V1=1：1，平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1点评：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题19（12分）为了了解初三学生女生身高情况，某中学对初三女生身高进行了一次测量，所得数据整理后列出了频率分布表如下：组别频数
25、频率145.5149.510.02149.5153.540.08153.5157.5200.40157.5161.5150.30161.5165.580.16165.5169.5mn合计MN（1）求出表中m，n，M，N所表示的数分别是多少？画出频率分布直方图；（2）全体初三女生的平均身高是多少？初三女生身高的中位数是多少？（3）从身高为161.5以上选取2人，求她们在同一身高段的概率考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布表；频率分布直方图 专题：计算题；概率与统计分析：（1）由第一组中频率与频数的关系求出M，进一步得出m，n，N即可计算出每组的纵坐标=，完成频率分布直方图（2）根据频率分布直
26、方图，中位数，平均数公式求解（3）根据表可得在161.5165.5有8人，165.5169.5有2人，利用排列组合求出个数，再运用概率公式求解解答：解：（1）M=50，m=50（1+4+20+15+8）=2，N=1，n=0.04M=50，m=2，N=1，n=0.04作出直角坐标系，组距为4，纵轴表示频率/组距，横轴表示身高，画出直方图如下图（2）根据频率分布直方图，知由图知：前两个矩形的面积为（0.005+0.02）4=0.1，0.50.1=0.4，43.6，中位数为153.5+3.6=157.1平均数=147.50.02+151.50.08+155.50.44+159.50.26+163.5
27、0.16+167.50.04=157.98（3）在161.5165.5有8人，165.5169.5有2人设从身高为161.5以上选取2人，她们在同一身高段的事件为DP（D）=从身高为161.5以上选取2人，她们在同一身高段的概率为点评：本题主要考查频率分布直方图和表，还考查同学们通过已知数据作出频数直方图、表的能力属于基础题20（12分）已知等差数列an的公差大于0，且a3，a5是方程x214x+45=0的两根，数列bn的前n项的和为Sn，且（）求数列an，bn的通项公式；（）记cn=anbn，求数列cn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式 专题：计算题；转化
28、思想分析：（）由已知可得，且a5a3，联立方程解得a5，a3，进一步求出数列an通项，数列bn中，利用递推公式（）用错位相减求数列cn的前n和解答：解：（）a3，a5是方程x214x+45=0的两根，且数列an的公差d0，a3=5，a5=9，公差an=a5+（n5）d=2n1（3分）又当n=1时，有当，数列bn是首项，公比等比数列，（6分）（）由（）知，则（1）=（2）（10分）（1）（2）得：=化简得：（12分）点评：本题主要考查了等差数列的通项公式的求解，利用递推公式求通项，体现了数学中的转化思想；一般的，若数列an为等差数列，bn为等比数列，求数列anbn的前n和可采用错位相减法21（1
29、2分）函数是定义在（1，1）上的奇函数，且（1）确定函数的解析式；（2）证明函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t1）+f（t）0考点：奇偶性与单调性的综合 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据奇函数性质有f（0）=0，可求出b，由可求得a值（2）根据函数单调性的定义即可证明；（3）根据函数的奇偶性、单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得一不等式组，解出即可解答：解：（1）因为f（x）为（1，1）上的奇函数，所以f（0）=0，即b=0又f（）=，所以=，解得a=1所以f（x）=（2）设1x1x21，则f（x1）f（x2）=，因为1x1x21，所以x1x20，1
30、x1x20，所以f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）所以函数f（x）在（1，1）上是增函数；（3）f（t1）+f（t）0可化为f（t1）f（t）又f（x）为奇函数，所以f（t1）f（t），f（x）为（1，1）上的增函数，所以t1t，且1t11，1t1；联立解得，0t所以不等式f（t1）+f（t）0的解集为点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及抽象不等式的求解，定义是解决函数单调性、奇偶性常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等式处理22（12分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC上，PC平面BDEPA=1，AD=2（1）证明：BD
31、平面PAC；（2）求二面角BPCA的正切值考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定 专题：空间角分析：（1）由PC平面BDE，得到PCBD，再由PA平面ABCD得到PABD，然后由线面垂直的判断得答案；（2）设AC与BD交于点O，连接OE，可得OEB就是二面角BPCA的平面角，然后利用OEBPAC及解直角三角形求得二面角BPCA的正切值解答：解：（1）证明：如图，PC平面BDE，BD平面BDE，PCBD，又PA平面ABCD，BD平面ABCD，PABD，而PCPA=P，PC平面PAC，PA平面PAC，BD平面PAC；（2）设AC与BD交于点O，连接OEPC平面BDE，OE平面BDE，BE平面BDE，PCOE，PCBE，于是OEB就是二面角BPCA的平面角，又BD平面PAC，OE平面PAC，OEB是直角三角形由OEBPAC，可得，而AB=AD=2，AC=，OC=，而PA=1，PC=3，于是，而OB=，于是二面角BPCA的正切值为点评：本题考查了直线与平面垂直的判断，考查了二面角的平面角的找法与求解，解答此题的关键在于找到二面角的平面角，是中档题