1、排列、组合和二项式定理1.两个原理.（1）分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。比较复杂的问题，常先分类再分步,分类相加，分步相乘. （2）一个模型： 影射个数 若A有年n个元素，B有m个元素，则从A到B能建立个不同的影射n件不同物品放入m个抽屉中，不限放法，共有多少种不同
2、放法？ （解：种）四人去争夺三项冠军，有多少种方法？从集合A=1，2，3到集合B=3，4的映射f中满足条件f（3）=3的影射个数是多少？求一个正整数的约数的个数（3）含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,.an其中限重复数为n1、n2nk，且n = n1+n2+nk , 则S的排列个数等于. 如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 2.排列数中、组合数中.(1)排列数公式 ；。如（1）1！+2！+3！+n！（）的个位数字为 （答：3）；（2）满足的 （答：8）(2)组合数公式；规定，.如已知，
3、求 n，m的值（答：mn2）(3)排列数、组合数的性质：；从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n个白球一个红球，任取m个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有一类是不含红球的选法有）根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C
4、种，依分类原理有. ；.(4)常用的证明组合等式方法. 裂项求和法. 如：（利用）n.n!=(n+1)!-n! 导数法. 数学归纳法. 倒序求和法. 一般地：已知等差数列an的首项a1，公差为d，a1Ca2Ca3Can1C=（2a1nd)2n-1 递推法（即用递推）如：. 构造二项式. 如： 证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边.更一般地：ACBD3.解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且每次得出的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了
5、，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列，无序组合如（1）将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有 种（答：）；（2）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有 种（答：70）；（3）从集合和中各取一个元素作为点的坐标，则在直角坐标系中能确定不同点的个数是_（答：23）；（4）72的正约数（包括1和72）共有 个（答：12）；（5）的一边AB上有4个点，另一边AC上有5个点，连同的顶点共10个点，以这些点为顶点，可以构成_个三角形（答：90）； （6）用六种不同颜色把右图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种
6、颜色，则共有 种不同涂法（答：480）；（7）同室4人各写1张贺年卡，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 种（答：9）；（8）是集合到集合的映射，且，则不同的映射共有 个（答：7）；（9）满足的集合A、B、C共有 组（答：）3.解排列组合问题的方法有：一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径 (1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数
7、或组合数 前两种方式叫直接解法，后一种方式叫间接(剔除)解法 注：数量不大时可以逐一排出结果。如（1）某单位准备用不同花色的装饰石材分别装饰办公楼中的办公室、走廊、大厅的地面及楼的外墙，现有编号为1到6的6种不同花色的石材可选择，其中1号石材有微量的放射性，不可用于办公室内，则不同的装饰效果有_种（答：300）；（2）某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0. 千位、百位上都能取0. 这样设计出来的密码共有_种（答：100）；（3）用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成无重复数字的四位
8、偶数_个（答：156）；（4）某班上午要上语、数、外和体育4门课，如体育不排在第一、四节；语文不排在第一、二节，则不同排课方案种数为_（答：6）；（5）四个不同的小球全部放入编号为1、2、3、4的四个盒中。恰有两个空盒的放法有_种；甲球只能放入第2或3号盒，而乙球不能放入第4号盒的不同放法有_种（答：84；96）；（6）设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的5个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有_种（答：31）(7)在平面直角坐标系中，由六个点(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(1,2)，(2,1)可以确定三角形的个
9、数为_（答：15）。4.常见的题目类型（1）相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。如（1）把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法种数为_（答：2880）；（2）某人射击枪，命中枪，枪命中中恰好有枪连在一起的情况的不同种数为_（答：20）；（3）把一同排6张座位编号为1，2，3，4，5，6的电影票全部分给4个人，每人至少分1张，至多分2张，且这两张票具有连续的编号，那么不同的分法种数是_（答：144）（2）不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采
10、用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。如（1）3人坐在一排八个座位上,若每人的左右两边都有空位,则不同的坐法种数有_种（答：24）；（2）某班新年联欢晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为_（答：42）。（3）多排问题单排法。如若2n个学生排成一排的排法数为x，这2 n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x,y的大小关系为_（答：相等）；（4）多元问题分类法。如（1）某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用
11、，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放. 那么不同的实验方案共有_种（答：15）；（2）某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门.其中两名英语翻译人员不能同给一个部门；另三名电脑编程人员也不能同给一个部门，则不同的分配方案有_种（答：36）；（3）9名翻译中，6个懂英语，4个懂日语，从中选拨5人参加外事活动，要求其中3人担任英语翻译，选拨的方法有_种（答：90）；（5）有序问题组合法。如（1）书架上有3本不同的书，如果保持这些书的相对顺序不便，再放上2本不同的书，有 种不同的放法（答：20）；（2）百米决赛有6名运动A、B、C、D、E、F参赛，每个运动员的速度都不同，则运动员
12、A比运动员F先到终点的比赛结果共有_种（答：360）；（3）学号为1，2，3，4的四名学生的考试成绩且满足，则这四位同学考试成绩的所有可能情况有_种（答：15）；（4）设集合，对任意，有，则映射的个数是_（答：）；（5）如果一个三位正整数形如“”满足，则称这样的三位数为凸数（如120、363、374等），那么所有凸数个数为_（答：240）；（6）离心率等于(其中且)的不同形状的的双曲线的个数为_（答：26）。（6）选取问题先选后排法。如某种产品有4只次品和6只正品，每只产品均不相同且可区分，今每次取出一只测试，直到4只次品全测出为止，则最后一只次品恰好在第五次测试时，被发现的不同情况种数是_（
13、答：576）。（7）至多至少问题间接法。如从7名男同学和5名女同学中选出5人，至少有2名女同学当选的选法有_种（答：596）提醒：亦可分类来求.（8）相同元素分组可采用隔板法。如（1）10个相同的球各分给3个人，每人至少一个，有多少种分发？每人至少两个呢？（答：36；15）；（2）某运输公司有7个车队，每个车队的车都多于4辆且型号相同，要从这7个车队中抽出10辆车组成一运输车队，每个车队至少抽1辆车，则不同的抽法有多少种？（答：84）*小球入筐型* 5个小球放入三个不同的筐子有多少放法每筐至少一个，有多少放法？小球相同小球不同注意：小球相同还是不同，是至少一个还是随便，多元一次方程的不定正整数
14、（还是非负整数）解的个数（隔板法）.如的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式 （如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .注：不定方程的解的个数方程（）的正整数解有个. 方程（）的非负整数解有 个. 方程（）满足条件(,)的非负整数解有个.方程（）满足条件(,)的正整数
15、解有（9）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！。如4名医生和6名护士组成一个医疗小组，若把他们分配到4所学校去为学生体检，每所学校需要一名医生和至少一名护士的不同选派方法有_种（答：37440）；（10）“错位问题”及其推广贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为.推广: 个元素与个位置,其中至少有个元素错位的不同组合总数为提醒: 在求解排列与组合应用问题时，应(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答 5.二项式定理：，其
16、中组合数叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项称为二项展开式的通项，二项展开式通项的主要用途是求指定的项（特定项、常数项、有理项）等有关问题。二项式定理有两个特殊形式：在解题时经常用到，且很方便，需熟记。特别提醒：项与项数、项的系数与二项式系数、奇数项与奇次项、偶数项与偶次项的区别分别是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系数。如在的展开式中，第项的二项式系数为，第项的系数为；而的展开式中的系数就是二项式系数；当n的数值不大时往往借助杨辉三角直接写出各项的二项式系数；审题时要注意区分所求的是项还是第几项？求的是系数还是二项式系数？注意展开式的
17、逆用，注意展开式中的项是否去首、少尾；必须关注n是正整数，r是非负整数(r=0的情形容易忽视)，且rn。如（1）的展开式中常数项是_（答：14）；（2）的展开式中的的系数为_ （答：330）；（3）数的末尾连续出现零的个数是_（答：3）；(4)展开后所得的的多项式中，系数为有理数的项共有_项（答：7）；(5)若的值能被5整除，则的可取值的个数有_个（答：5）；(6)若二项式按降幂展开后，其第二项不大于第三项，则 的取值范围是 （答：）； (7)函数的最大值是_（答：1024）.（8） 已知等比数列an的首项为a1，公比为q求和：a1Ca2Ca3Can1C解：a1Ca2Ca3Can1Ca1Ca1
18、qCa1q2Ca1qnCa1(CqCq2CqnC)a1(1q)n6、二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；（2）增减性与最大值：当时，二项式系数C的值逐渐增大，当时,C的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当n为偶数时，中间一项（第1项）的二项式系数取得最大值。当n为奇数时，中间两项（第和1项）的二项式系数相等并同时取最大值。如（1）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数为_（答：426）；（2）在的展开式中，第十项是二项式系数最大的项，则_（答：17,18或19）。（3）二项式系数的和：；。如（1）如果，则 （答：128）；（2）化简（答：）7、赋值法：应
19、用“赋值法”可求得二项展开式中各项系数和为、“奇数 (偶次)项”系数和为，以及“偶数 (奇次)项”系数和为。（4）F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项的系数和为；.证明组合恒等式或二项展开式系数求和时通常用构造法和赋值法：构造一个相应的二项展开式，再对该二项展开式进行赋值，或者构造同一问题的不同解法，通过变更问题解决。如（1）已知，则等于_（答：）；（2），则_（答：2004）；（3）设,则_（答：）。8、系数最大项的求法：系数若就是二项式系数，利用二项式系数的最大值性质来求，否则设 的系数为 ，那么 为最大的必要而不充分的条件是：且（若比商的话，注意的正负）如（1）求的展开式中，系数的绝对值最大的项和系数最大的项。（答：系数绝对值最大的项为，系数最大的项为）（2）二项式的展开式系数最大的项是（ ） A.第2n+1项 B. 第2n+2项 C. 第2n项 D第2n+1项或2n+2项注：若通过系数绝对值来求时，注意系数的正负9、二项式定理的应用：二项式定理的主要应用有近似计算、证明整除性问题或求余数、应用其首尾几项进行放缩证明不等式。如（1）(0.998)5精确到0.001近似值为_（答：0.990）；（2）被4除所得的余数为_（答：0）；（3）今天是星期一，10045天后是星期_（答：二）；（4）求证：能被64整除；（5）求证：