1、太和一中20202021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ，B，C，D，2阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A5B11C14D193某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88
2、，乙组学生成绩的中位数是89，则的值是（ ）A5B6C7D84设、是异面直线，给出下列命题：经过直线有且仅有一个平面平行于直线；经过直线有且仅有一个平面垂直于直线；存在分别经过直线和直线的两个平行平面；存在分别经过直线和直线的两个互相垂直的平面其中错误的命题为（ ）A与B与C与D仅5设点在直线上，若，且恒成立，则的值ABCD6的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A-40B-20C20D407已知直线：与直线：相交于点P，线段是圆C：的一条动弦，且，点D是线段的中点.则的最大值为（ ）A BC D8设,且013,若能被13整除,则( )A0B1C11D129.高一某班有5名同学报名参
3、加学校组织的三个不同社区服务小组，每个小组至多可接收该班2名同学，每名同学只能报一个小组，则报名方案有（ ）A15种B90种C120种D180种10美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（ ）种A96B120C180D21611、是正三角形的边、的中点，沿把正三角形折成60的二面角（如图），则的正切值为（ ）A B CD以上答案均不对12已知，则( )AB0C14D二、 填空题：本题共4小题，每小题5分
4、，共20分13.直线l过点，且被两平行直线和所截得的线段长为9，则直线l的一般式方程是_.14将，五个字母排成一排，若与相邻，且与不相邻，则不同的排法共有_种.15一个五位数满足,且,(如3720145412),则称这个五位数符合“正弦规律”,那么,共有_个五位数符合“正弦规律”.16已知长方体的棱，点，分别为棱，上的动点.若四面体的四个面都是直角三角形，则下列命题正确的是_.（写出所有正确命题的编号）存在点，使得；不存在点，使得；当点为中点时，满足条件的点有3个；当点为中点时，满足条件的点有3个；四面体四个面所在平面，有4对相互垂直.三、解答题：本题共6题，共70分(17题10分，18-22
5、均为12分)。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。17某湿地公园经过近十年的规划和治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的300个地块，并设计两种抽样方案，方案一：在该地区应用简单随机抽样的方法抽取30个作为样本区；依据抽样数据计算得到相应的相关系数；方案二：在该地区应用分层抽样的方法抽取30个作为样本区，调查得到样本数据（，2，30），其中和分别表示第i个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；
6、（2）求方案二抽取的样本（，2，30）的相关系数（精确到0.01）；并判定哪种抽样方法更能准确的估计.附：相关系数，；相关系数，则相关性很强，的值越大，相关性越强.18由于受疫情的影响，某国某市的一个小区505人参加某次核酸检测，根据年龄段使用分层抽样的方法从中随机抽取101人，记录其核酸检测结果(阴性或阳性).现将核酸检测呈阴性的人员，按年龄段分为5组：(0，20，(20，40，(40，60，(60，80，(80，100，得到如图所示频率分布直方图，其中年龄在(20，40的有20人.（1）估计核酸检测呈阴性人员的年龄的中位数；（2）用样本估计该小区此次核酸检测呈阳性的人数；（3）若此次核酸检
7、测呈阳性的人中，男女比例为3：2，从中任选两人，求至少选到一名男性的概率19如图，球的截面把垂直于它的直径分为两部分，截面圆的面积为，是截面圆的直径，是圆上不同于、的一点，是球的一条直径 （1）求三棱椎的体积最大值；（2）当分弧的两部分弧与弧的弧长之比为时，求二面角的正切值20在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2-12x+32=0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线l与圆Q相交于不同的两点A，B，记AB的中点为E（）若AB的长等于，求直线l的方程；（）是否存在常数k，使得OEPQ？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由21在多面体中，平面平面（1）证明：；（2）求直线与平面所成
8、角的正弦值22已知圆：()，定点，其中为正实数.（1）当时，判断直线与圆的位置关系；（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围 太和一中20202021第一学期高二年级调研数学试卷（奥赛班）参考答案1.试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为，高中生的近视人数为，故选B.2.首先初始化数据：，成立，执行不成立；成立，执行不成立；不成立，执行不成立；成立，执行成立；则程序跳出循环，输出.本题选择C选项.3【答案】B【解析】试题分析：甲组学生成绩的平均数是，乙组学生成绩的
9、中位数是89，所以，选B.4.【答案】D【分析】根据空间平行关系、垂直关系的判定定理与性质定理判断即可.【详解】对于，选一条直线与平行，且与相交，则由公理的推论可知，通过与有且仅有一个平面，此时，故正确；对于，若与不垂直，则直线不可能垂直于直线所在的平面，故错；对于，取平面与平面，且使，若，且与不平行，则异面，故正确；对于，若、异面，则存在一条直线，使得，设由、所确定的平面为，则一定可以过直线作一个平面，使得，故正确.故选：D.5【答案】C【解析】由题意得当，所以直线过定点，当，所以直线过定点恒成立，又，,的斜率为直线的方程为，即；直线的方程为，即选C6【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原
10、式=的通项，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x，选3个提出；若第1个括号提出，从余下的括号中选2个提出，选3个提出x.故常数项=-40+80=407D【分析】根据条件可先判断出并结合直线过定点确定出的轨迹方程，再根据条件计算出的长度，结合图示说明何时有最大值并计算出最大值.【详解】由题意得圆C的圆心为，半径，易知直线：恒过点，直线：恒过，且，的轨迹是以为直径的圆，点P的轨迹方程为，圆心为，半径为，若点D为弦的中点，
11、位置关系如图：连接，由，易知.，此时三点共线且在线段上，故选：D.8.【答案】D【分析】由于，按二项式定理展开，根据题意可得能被13整除，再由，确定出的值即可.【详解】除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得能被13整除， ，故选D9.【答案】B【分析】根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，再将3组分配的3个服务小组即可.【详解】解：根据题意，5名同学需以“2，2，1”形式参加三个服务小组，即先把5名同学分成3组，每组人数为2，2，1人，共有种，再将三组分配到3个服务小组，共有种，故选：B.10.【答案】D【分析
12、】根据题意，先将5人分成4组，减去甲乙在一起的1组，然后4组再安排到4个不同的部门可得答案.【详解】由故选：D.11.【答案】B【分析】取的中点，连接，交于点，连接，根据题意及正三角形的特点易证二面角的平面角为，且，然后设正三角形的边长为，根据几何条件设法求出，计算的值.【详解】如图所示，取的中点，连接，交于点，连接，.因为三角形为正三角形，则，又点、是的边、的中点，则，所以，可证得平面，则，所以.所以二面角的平面角为，而，所以为等边三角形.设等边三角形的边长为，则，所以.故选：B.12.【答案】B【分析】由题可知，将转化为，再根据二项式展开式的性质，即可求出和，便可得出.【详解】解：由题知，
13、且，则，所以.故选：B.【答案】3613.【答案】或【分析】先验证斜率不存在时符合题意，斜率存在时再设直线方程，联立直线求交点，根据交点距离列关系求得斜率，即得方程.【详解】当直线l斜率不存在时，方程为，与两直线交点分别是，距离为9，符合题意；当直线l斜率存在时，方程可设为，直线l与直线联立，得交点，直线l与直线联立，得交点，故两点间的距离为，化简得，即直线方程为，即，综上，直线l方程为或.故答案为：或.14【分析】可利用分步乘法计数原理，先排，再将捆绑，看作一个元素，插入三个空位之一，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一即可.【详解】依题意，可分三步，先排，有种方法，产生3个
14、空位，将捆绑有种方法，将捆绑看作一个元素，插入三个空位之一，有种方法，这时、产生四个空位，最后将插入与不相邻的三个空位之一，有种方法，根据分步乘法计数原理得：共有种，故答案为：36.15【答案】2892【分析】将情况分为五个数中没有数相同；五个数中有两个数相同；五个数中有三个数相同三种情况，分别计算得到答案.【详解】根据意义知，五位数中，最大，最小.当五个数中没有数相同时：选五个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余三个全排列，共有个；当五个数中有两个数相同时：选四个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余两个数赋值给，共有个；当五个数中有三个数相同时：选三个数，最大数赋值给，最小数赋值给，剩余的一
15、个数赋值给，共有个；故共有故答案为：16.【答案】【分析】在长方体中，根据线面位置关系，逐个分析即可得解.【详解】因为四面体的四个面都是直角三角形，所以为直角或为直角，（若为直角，则为直角必为锐角三角形）若为直角时，因为平面，则推得平面因此平面平面，平面平面，平面平面，即仅有三对平面相互垂直，同理，为直角时亦然，故错误，对，在四面体中，有平面 ， 所以根据三垂线定理及其逆定理得，故存在，正确；对，若，又因为，则有平面，就有，此时分别和重合，则不是直角三角形，不符题意，故不存在，正确；对，为中点时，若为直角，则满足条件的F只有一个，若为直角，因为，即满足条件的F不存在，即错；对，根据题意，若为直
16、角， 因为,即满足条件的有2个，若当为直角时有一解，故有1个，故正确；故答案为：三17.（1）由题意可得，样区野生动物平均数为，又地块数为300，所以该地区这种野生动物的估计值为；（2）由题中数据可得，样本（，2，30）的相关系数为.因为方案一的相关系数为明显小于方案二的相关系数为，所以方案二的分层抽样方法更能准确的估计.18.(1)由频率直方图可知，因，所以所求中位数在,不妨设中位数为x，则,得.所以核酸检测呈阴性人员年龄的中位数为50；(2)因样本中核酸检测呈阴性的人员中年龄在有20人，设样本中核酸检测呈阴性的人数为n,则，即，用样本估计总体，所以该小区此次核酸检测呈阳性的人数为,即该小区
17、此次核酸检测呈阳性的人数为5；（3）由（2）可知，此次核酸检测呈阳性的人数为5，又因其男女比例为3：2，所以其中男性为3人，女性为2人，将其3名男性分别记为1，2，3，2名女性记为a,b，从中任选两人的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），（a，b），共10种，其中至少有一名男性的基本事件有（1，2），（1，3），（1，a），（1，b），（2，3），（2，a），（2，b），（3，a），（3，b），共9种.所以至少选到一名男性的概率.19.解：（1）是中点，为中点，又平面，平面，设球半径为，则，设，则，当时，三棱椎的
18、体积的最大值为，又，（2）弧与弧的弧长之比为，由平面知，平面平面，作于，则平面，再作于，连，又，所以平面，得，是二面角的平面角，在中，由三角形相似求得，二面角的正切值为20.（）圆Q的方程可写成（x-6）2+y2=4，所以圆心为Q（6，0）设过P（0，2）且斜率为k的直线方程为y=kx+2|AB|=，圆心Q到直线l的距离d=，=，即22k2+15k+2=0，解得k=-或k=-所以，满足题意的直线l方程为y=-+2或y=-x+2（）将直线l的方程y=x+2代入圆方程得x2+（kx+2）2-12x+32=0整理得（1+k2）x2+4（k-3）x+36=0直线与圆交于两个不同的点A，B等价于=4（k
19、-3）2-436（1+k2）=42（-8k2-6k）0，解得-k0，即k的取值范围为（-，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的中点E（x0，y0）满足x0=-，y0=kx0+2=kPQ=-，kOE=-，要使OEPQ，必须使kOE=kPQ=-，解得k=-，但是k（-，0），故没有符合题意的常数k21.解：（1）连接，在中，则，所以，即，又因为平面平面，平面平面，且，所以平面，因为平面，所以，由，且，平面，所以有平面，因为平面，所以，又因为，所以（2）过点作交的延长线于，连接，由，可得：，平面平面，面面，面，又平面，由（1）可知，即，由（1）可知，平面，所以，即，可知，由等体积：，所
20、以，则，解得，设直线与平面所成角为，则22.解: (1) 当时,圆心为,半径为, 当时,直线方程为, 所以,圆心到直线距离为, 因为,所以,直线与圆相离. （2）设点，则，由得， ，代入得， ，化简得，因为为圆上任意一点，所以，又，解得，(3)法一:直线的方程为，设()，因为点是线段的中点，所以，又都在圆：上，所以即因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，所以， 又为线段上的任意一点，所以对所有成立而 在上的值域为，所以所以又线段与圆无公共点，所以，.故实数的取值范围为 法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，则则消去得， ， 直线方程为 点到直线的距离为 且又 为线段上的任意一点， ， 故实数的取值范围为