1、福建省长汀、连城一中等六校联考2020届高三数学上学期期中试题 理（含解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，集合，求（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解出集合、，再利用集合交集运算律可求出集合【详解】解不等式，即，解得，.解不等式，解得，因此，故选B【点睛】本题考查集合的交集运算，解出不等式得出两个集合是解题的关键，考查计算能力，属于基础题2.已知命题，命题：若中，则，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】举出反例证明命题为假命题,再对命题中根据余弦
2、定理求解再判定即可.【详解】对命题,当时,故为假命题.对命题,中,则.因为,所以.故.故命题为真命题.故正确.故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假的判断,同时也考查了指数函数与解三角形与平面向量的应用等.属于基础题.3.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据求得,再利用同角三角函数的关系方法求解即可.【详解】因为,所以,显然,故.所以.故选：A【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系运用以及二倍角公式的运用,属于基础题.4.已知函数，若，则的值为（ ）A. 64B. 18C. 12D. 【答案】C【解析】【分析】根据求解,进而求解即可.【详解】因为,故.故.所
3、以.故选：C【点睛】本题主要考查了分段函数中的参数的求解以及指对数的运算等.属于基础题.5.在中，为边上一点，且满足，为边中点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的三角形法则求解即可.【详解】由题, .故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要根据三角形法则求解,属于基础题.6.设为实数，函数的导函数为，且是偶函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求导得,根据是偶函数求解,再根据导数的几何意义求解曲线在点处的切线方程即可.【详解】由题, ,因为是偶函数且为关于的多项式,故其奇次项的系数.故,.又,故
4、曲线在点处的切线方程为,即.故选：C【点睛】本题主要考查根据奇偶性求参数值以及利用导数的几何意义求解切线方程的方法.属于中档题.7.函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先根据周期,代入最大值求解的解析式,再根据函数图像平移的方法求解析式即可.【详解】由图像可知,且周期为,故,故.又可得,又,故.故.所以的解析式为.故选：C【点睛】本题主要考查了根据三角函数的图象求解解析式的方法,同时也考查了三角函数图像平移以及诱导公式的运用,属于基础题.8.设，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
5、A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求解和对应的二次不等式的解集,再根据是的必要不充分条件确定求得的解集间的关系,再根据区间端点的位置关系求解即可.【详解】由题：,解得.故：或；：或.又是的必要不充分条件,所以.解得.故选：A【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件求解参数范围的问题,需要根据题意确定解集的包含关系,再根据区间端点的位置关系求解不等式.属于中档题.9.函数的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简,再分析函数的奇偶性与当与时的函数值判定即可.【详解】化简得.因为为偶函数,设,则.故为奇函数.故为奇函数.排除A.当时, ,故,排除B
6、.当时, ,故,排除C.故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数解析式选择函数图像的方法,一般先分析函数的奇偶性,再根据图像特征分析当无限趋近于0与趋近于正无穷大时函数值的大小进行判断.属于中档题.10.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则（ ）A. 0B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数关于点对称的性质再求解即可.【详解】因为函数满足,故的图像关于对称.又函数关于对称,故函数与图象的交点为关于对称.设关于对称, 关于对称, 关于对称故.故选：B【点睛】本题主要考查了函数的对称性应用,若函数满足,则关于对称.属于中档题.11.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，当时，若，则的大
7、小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数,再分析的单调性与奇偶性判断函数值大小即可.【详解】构造函数,因为是定义在上的奇函数,故为偶函数.又因为,且,故当时, 为减函数.当时, 为增函数.综上,为偶函数,且当时为减函数, 当时,为增函数.易得.又因为,所以故,所以.故选：B【点睛】本题主要考查了构造函数判断函数值大小的问题,同时也考查了奇偶性的运用等.属于中档题.12.设函数，其中，若仅存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令,因为仅存在两个正整数使得,即仅有两个整数使得,利用函数的导数求解函数的最小值,
8、列出不等式组,转化求解即可【详解】令,因为仅存在两个正整数使得,即仅有两个整数使得,令,解得 ,且当,；当,所以,且,；所以当时,所以另一个满足条件的整数为2,所以,代入解得,综上,的取值范围为.故选：D【点睛】本题主要考查了根据函数的根的分布求解参数范围的问题,需要将原函数分成两个函数数形结合分析,同时也考查了利用导数求解函数的单调性求解的方法.属于难题.第卷（非选择题，共90分）二、填空题：（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，若，则实数_.【答案】或1.【解析】【分析】根据垂直的数量积公式求解即可.【详解】因为,故,即.解得或1.故答案为：或1【点睛】本题主要考查了垂直
9、的数量积公式,属于基础题.14.中，则角_.【答案】.【解析】【分析】根据正弦定理求解角,进而利用内角和为求解即可.【详解】由正弦定理有.又,故,所以.故.故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用,属于基础题.15.设是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则不等式的解集为_.【答案】.【解析】【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求,再根据单调性与定义域求解即可.【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称,故,故是定义在上的偶函数,且在上为增函数.解即或,即或,又,故.故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数的奇偶性与单调性求解函数不等式的问题,属于中档题.16.已知函数的图象关于直线对称，且
10、，在区间上单调，则的值为_.【答案】2或6.【解析】【详解】因为的图象关于直线对称,故, 又,故或,-可得或,.解得或,又在区间上单调,故周期满足,且,所以故当时有满足条件.故答案为：2或6.【点睛】本题主要考查了根据三角函数的性质求解参数值的问题,需要根据三角函数的对称轴等的方程求解参数满足的表达式,再根据周期的范围判断即可.属于难题.三、解答题：（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分.17.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若，求的值域.【
11、答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)化简可得,再代入单调递增区间表达式求解即可.(2)根据可得,再根据正弦函数的图像分析值域即可.【详解】（1）令函数的单调递增区间为（2）,当时, 当时,所以的值域为【点睛】本题主要考查了三角函数诱导公式与二倍角公式的运用,同时也考查了求三角函数的单调区间以及根据函数的定义域求值域的方法,属于中档题.18.一家小微企业生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，假设该企业每个月可生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销售收入为万元，且每生产1万件政府给予补助万元.（1）求该企业的月利润（万元）关于月产量（万件）的函数解析式；（
12、2）若月产量万件时，求企业在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量值（万件）.（注：月利润月销售收入+月政府补助月总成本）【答案】（1）；（2）当月产量为3万件时，该企业所获得的最大月利润为万元.【解析】【分析】(1)根据月利润月销售收入+月政府补助月总成本列式即可.(2)求导分析利润函数的单调性,进而求得函数的极值点与最值即可.【详解】（1）依题意得 （定义域未标注的扣一分）（2）当时,当时,当时,所以在上单调递增,在上单调递减当时,当月产量为3万件时,最大月利润为万元.答：当月产量为3万件时,该企业所获得的最大月利润为万元.【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际利润
13、问题,需要根据题意确定利润的关系式,再求导分析单调性进而求得最值等.属于中档题.19.在中，角所对的边分别为，若，且.（1）求的值；（2）求面积的最大值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用余弦定理化简,再用正弦定理与和差角公式求解即可.(2)由(1) 知,再利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由余弦定理得：,即由正弦定理可得：,即,根据正弦定理,又,（2）由（1）知即（当且仅当时等号成立）（当且仅当时等号成立）故面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了正余弦定理在解三角形中的应用,同时也考查了利用基本不等式求解面积最值的问题,属于中档题.20.已知函数.（1）若关于的不等式的解
14、集为，求函数的最小值；（2）是否存在实数，使得对任意，存在，不等式成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）不存在实数，使得对任意，存在，不等式成立，理由见解析.【解析】分析】(1)利用二次不等式解集的性质与韦达定理求解得,再代入了与基本不等式求最值即可.(2)由题可知若存在则,根据对数不等式性质可知,再分析二次函数的对称轴与区间的位置关系求得的最值分析即可.【详解】（1）依题意得,2和3是方程的两根由韦达定理可知：又,当且仅当时等号成立,所以的最小值为.（2）假设存在实数,使得对任意,存在,不等式成立时,在成立记,其对称轴为,当,即时,由,当,即时,由,综上所述
15、,不存在实数,使得对任意,存在,不等式成立.【点睛】本题主要考查了二次不等式解集与系数的关系,同时也考查了恒成立问题以及分类讨论求二次函数的最值问题.属于中档题.21.已知函数，为自然对数的底数.（1）求证：当时，；（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】【分析】(1)构造,再求导可得,再对导数求导,继而分析导函数的正负区间进而求得原函数的单调区间求最小值证明即可.(2) 求导可得,再分,分析函数的最小值,同时根据零点存在性定理判断是否有两个零点即可.【详解】（1）设,在上单调递增,又时,在上单调递增,又时,故当时,；（2）,当时,易知函数只有一个零点,不
16、符合题意；当时,在上,单调递减；在上,单调递增；又,且,且当上,恒成立，又不妨取且时,或者考虑：当所以函数在和在上各有一个零点，即有两个零点.当时,由得或（i）当即时,在上,成立,故在上单调递增,所以函数至多有一个零点,不符合题意（ii）当即时,在和上,单调递增；上,单调递减；又,且,所以函数至多有一个零点,不符合题意（iii）当即时,在和上,单调递增；在上,单调递减；又,所以函数至多有一个零点,不符合题意综上所述：实数的取值范围是【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调性与最值,进而证明函数不等式的问题.同时也考查了分类讨论分析函数零点个数的问题.属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在
17、第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线l的参数方程为（为参数），直线l与曲线C分别交于两点.（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）当时，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】(1)根据极坐标与参数方程和直角坐标的互化求解即可.(2)联立直线的参数方程与曲线C的直角坐标方程,设两点对应的参数分别为,再利用参数的几何意义求解即可.【详解】（1）由得：曲线C的直角坐标方程为：由消去参数t得直线l的普通方程为（2）解：当时,曲线C的直角
18、坐标方程为：将直线l的参数方程,代入得：设两点对应的参数分别为,则有, 【点睛】本题主要考查了极坐标与参数方程和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义的求解.属于中档题.选修4-5：不等式选讲23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（）当时，求不等式的解集；（）当不等式的解集为时，求实数的取值范围.【答案】() () 或【解析】【分析】()根据的范围得到分段函数的解析式，从而分别在三段区间上求解不等式，取并集得到所求解集；()由绝对值三角不等式得到的最小值，则最小值大于，得到不等式，解不等式求得结果.【详解】()时，当时，即 当时，即 当时，无解综上，的解集为 ()当，即时, 时等号成立；当，即时, 时等号成立所以的最小值为即或【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用问题，属于常规题型.
