1、攻略2：考前必会核心方法方法1数形结合法数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，可使某些抽象的数学问题直观化、形象化，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，并且能避开复杂的推理与计算，大大简化解题过程(2017双鸭山二模)已知函数f(x)，函数g(x)满足以下三点条件：定义域为R；对任意xR，有g(x)g(x2)；当x1,1时，g(x).则函数yf(x)g(x)在区间4,4上零点的个数为()A7B6C5D4思路点拨当x3，1时，g(x)2；当x1,3时，g(x)，在同一坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象，两个图象有4个交点，可得结论【解析】对任意xR，有g(x)g(x2)；当x
2、1,1时，g(x)，当x3，1时，g(x)2；当x1,3时，g(x)，在同一坐标系中，作出f(x)，g(x)的图象，两个图象有4个交点，函数yf(x)g(x)在区间4,4上零点的个数为4，故选D【答案】D点评函数零点有关的问题解决常用数形结合的方法来破解，其关键：一是转化，即把函数零点的个数问题转化为方程的根的个数问题，再把方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题；二是“草图不草”，画函数图象时，注意“以点控图”，虽画草图，但关键点要予以呈现，以便有效降低这类问题的错误率已知函数f(x)，F(x)f(x)x1，且函数F(x)有2个零点，则实数a的取值范围为()A(，0B1，)C(，1
3、)D(0，)解析：由题意，x0，F(x)exx1，有一个零点0，x0，F(x)xx(a1)，0是其中一个零点，函数F(x)有2个零点，1a0，a1.故选C答案：C方法2等价转化法利用等价转化法解题的关键：一是定目标转化，从已知条件入手，通过转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范，甚至模式化、简单的问题；二是利用相关知识解决所转化的问题已知函数f(x)x22axln x，若f(x)在区间上是增函数，则实数a的取值范围为_【解析】由题意知f(x)x2a0在上恒成立，即2ax在上恒成立又yx在上单调递减，max， 2a，即a.【答案】点评把可导函数f(x)在某个区间D上的单调递增，等价转
4、化为f(x)0在区间D上恒成立，再把恒成立问题通过分离参数法转化为最值问题来解决方法3变量换元法变量换元法的关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而将非标准型问题转化为标准型问题，将复杂问题简单化. 变量换元法常用于求解复合函数的值域、三角函数的化简或求证等问题(2017长春模拟)函数y4x2x11的值域为()A(0，)B(1，)C1，)D(，)【解析】令2xt，则函数y4x2x11可化为yt22t1(t1)2(t0)函数y(t1)2在(0，)上递增，y1.所求值域为(1，)故选B【答案】B点评破解此类问题的关键：一是利用已知条件建立
5、关于参数的方程，解方程，求出参数的值；二是通过变量换元法将所给函数转化为值域容易确定的另一个函数，求得其值域，从而求得原函数的值域. 但在换元时一定要注意新元的取值范围，以保证等价转化方法4待定系数法待定系数法的理论依据是多项式恒等两个多项式各同类项的系数对应相等. 待定系数法主要用来解决具有某种确定的数学表达式的数学问题，通过引入一些待定系数，转化为方程(组)来解决例如求圆锥曲线的方程、圆的方程、直线的方程、函数解析式、复数、数列等某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0 的保鲜时间是192小时，在
6、22 的保鲜时间是48小时，则该食品在33 的保鲜时间是_小时【解析】由已知条件，得192eb，bln 192. 又48e22kbe22kln 192192e22k192(e11k)2，e11k. 设该食品在33 的保鲜时间是t小时，则te33kln 192192e33k192(e11k)3192324.【答案】24点评破解此类问题的关键是依题设所给的函数模型，利用待定系数法求解，本题的突破口是将题设中的自变量的值与相应的函数值代入所给关系式，求出参数的值，再求解问题方法5分离参数法求解不等式有解或恒成立问题常用分离参数法，可避免对参数进行分类讨论的繁琐过程. 要注意该方法仅适用于分离参数后所
7、得函数的最值或值域可求的问题已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A1，)B(，0)(0,1C(0,1D(，0)1，)【解析】函数f(x)x的导数为f(x)1，由于f(x)在(，1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立由于当x1，则有1，解得a1或a0，则的最小值为_【解析】a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号故的最小值为4.【答案】4点评运用基本不等式法求最值的关键：“一正”，即判断两个数为正数；“二定”，即和或积为定值；“三相等”，即检验是否满足等号成立的条件. 若连续两次使用基本不等式求最值，则两次等号成立的条件要一
8、致，否则最值取不到若两个正实数x，y满足1，且不等式xx4，故m23m4，化简得(m1)(m4)0，即实数m的取值范围为(，1)(4，)答案：B方法8类比推理法类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相同的推理，是从特殊到特殊的推理类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠. 在解不等式“x310”中，我们有如下解题思路：设f(x)x31，则f(x) 在R上单调递增，且f(1)0，所以不等式x310的解集是(1，)类比上述解题思路，则不等式exx10的解集为_【解析】由解不等式“x310”中，设f(x)x31，则f(x
9、) 在R上单调递增，且f(1)0，所以不等式x310的解集是(1，)类比可得，在解答不等式exx10时，设f(x)exx1，则f(x) 在R上单调递增，且f(0)0，所以不等式exx10的解集是(0，)故答案为：(0，)【答案】(0，)点评运用类比推理法的要点：一是找出类比对象之间可以确切表述的相似特征；二是用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)，类比推理的关键是找到合适的类比对象，否则就失去了类比的意义在平面几何中，ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，平面DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比
10、的结论是_解析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：.答案：方法9三角化简转化法在运用三角化简转化法解题的过程中，应熟练掌握三角公式的正用、逆用、变形用等，它可以提高思维的起点，缩短思维路线，从而使运算简便、快捷. (2017山东卷)设函数f(x)sinxsinx，其中03，已知f0.(1)求；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数yg(x)的图象，求g(x)在上的最小值【解】(1)因为f(x)sinxsinx，所以f(x)sin xcos xcos xsin xcos xsin xco
11、s xsinx.由题设知f0，所以k，kZ，所以6k2，kZ.又03，所以2.(2)由(1)得f(x)sin2x，所以g(x)sinxsinx.因为x，所以x.当x，即x时，g(x)取得最小值.点评破解此类交汇问题的关键：一是“代数化”，利用平面向量数量积的坐标运算进行转化，得到关于三角函数的解析式；二是“会化简”，常利用三角函数公式、辅助角公式进行化简；三是“用性质”，利用三角函数的图象与性质来解决问题；四是“得结论”，解相关方程或不等式，从而得到所求结论已知函数f(x)sincossin2x(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若f，a2
12、，b，求c的值解：(1)f(x)sincossin2xsin2xcos2xcos2xsin2xsin2xsin，令2k2x2k，kZ，解得：kxk，kZ，可得：函数f(x)的单调递减区间为：，kZ.(2)fsin，可得：sin1，A(0，)，可得：A，可得A，解得：A，a2，b，由余弦定理，a2b2c22bccos A，可得：22()2c22c，整理可得：c22c20，解得：c1.方法10割补法对于不规则或不易求解的空间几何体的体积问题常用割补法把它转化成几个简单的几何体的体积的和或差的问题，这种思路的核心是要弄清补形后的几何体的体积是否与原几何体的体积之间有明显的确定关系. (2017青岛模
13、拟)如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，DB平面ABC，且AEFCBD，BD3，FC4，AE5，则此几何体的体积为_【解析】用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱，使AABBCC8，所以V几何体V三棱柱SABCAA24896.【答案】96点评割补法是求一般多面体体积的常用方法，运用割补法处理一些比较复杂的几何体的体积计算问题，实际上是对转化与化归思想的灵活运用(2017石家庄一模)在三棱锥PABC中，PABC4，PBAC5，PCAB，则三棱锥PABC的外接球的表面积为_解析：将三棱锥PABC放到长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别是a，b，c，则，相加解得a2b2c226，因为三棱
14、锥PABC的外接球即该长方体的外接球，所以外接球的直径2R，则三棱锥外接球的表面积为4R226.答案：26方法11分类讨论法分类讨论法研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，分类要注意“标准统一”，这样可避免“重”或“漏”. 函数f(x)，关于x的方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为_【解析】由f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，得f(x)k(x1)至少有两个不相等的实数根，设g(x)k(x1)，则等价为f(x)与g(x)至少有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图：g(x)k(x1)，过定点C(1,0)，当x0时，f(x)x2x
15、的导数f(x)2x1，在x1处，f(1)211，当k1时，g(x)x1与f(x)xx1平行，此时两个图象只有一个交点，不满足条件当k1时，两个函数有两个不相等的实数根，当0k1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k0时，当直线经过点A时，两个图象有两个交点，此时k，即k，当k0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f(x)kxk至少有两个不相等的实数根，则k且k1.【答案】k且k1方法12整体代入法整体代入法是根据式子的结构特征，在求值还是求解析式过程中，直接将代数式当成一个整体来处理，从而建立已知和所求的关系式进行求解的方法. 利用该方法求值时，可以避免繁琐的求解过程，减少计算量. 该法适用于
16、求函数值、求函数的解析式等问题已知f(x)满足2f(x)f3x，则f(x)_.【解析】2f(x)f3x，以代替式中的x(x0)，得2ff(x).2，得3f(x)6x，f(x)2x(x0)【答案】2x(x0)方法13公式应用法公式应用法适用于利用相关公式求解概率、数列通项公式与前n项和、三角函数的值、空间几何体的表面积和体积等问题(2017临沂八校联考)已知数列an是公差不为零的等差数列，a12，且a2，a4，a8成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若bn(1)nan是等比数列，且b27，b571，求数列bn的前n项和Tn.【解】(1)设数列an的公差为d(d0)，因为a12，且a2，a
17、4，a8成等比数列，所以(3d2)2(d2)(7d2)，解得d2，故ana1(n1)d22(n1)2n.(2)令cnbn(1)nan，设数列cn的公比为q，因为b27，b571，an2n，所以c2b2a2743，c5b5a5711081，所以q327，故q3，所以cnc2qn233n23n1，即bn(1)nan3n1，所以bn3n1(1)n2n.故Tnb1b2b3bn(30313n1)246(1)n2n当n为偶数时，Tn2；当n为奇数时，Tn22n.所以Tn点评对于数列解答题，常利用等差(比)数列的定义、通项公式与前n项和公式进行求解. 若是同一数列的递推关系式，常通过构造转化为等差数列或等比数列的形式求解；若是不同数列间的关系式，常通过已知条件寻求转化. 在解题中注意累加法、累乘法、错位相减法、裂项相消法等的应用