1、2018届高三第三次模拟考试数学理科试题第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则 的元素个数为（ ） A B C D2. 已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.已知 ，则 （ ）A B C D4. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7
2、个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ）A B C D 5. 已知实数满足，则的最小值是（ ）A B C D 6. 双曲线的离心率为，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程是（ ）A B C D7.执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A B C D 8. 若，则的值为（ ）A B C D 9. 已知等比数列的前项积为，若，则当取得最大值时，的值为（ ）A B C D 10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A B C D11. 已知函数的最小正周期为，将函数的图
3、象向右平移个单位后关于原点对称，则当取得最小值时，函数的一个单调递增区间为（ ）A B C D 12. 已知函数，若函数与有相同的值域，则的取值范围是（ ）A B C D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设非零向量满足，且，则向量与 的夹角为 14.已知在内任取一个实数，在内任取一个实数，则点位于上方的概率为 15.已知抛物线的焦点为，准线为，抛物线有一点，过点作，垂足为，若等边的面积为，则 16.已知三棱锥满足底面是边长为的等边三角形，是线段上一点，且，球为三棱锥的外接球，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最小值于最大值之和为，则球的表面积 三、解
4、答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知中，.（1）若，求的面积；（2）若，求的长.18. 生蚝即牡蛎是所有食物中含锌最丰富的，在亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：（1）若购进这批生蚝，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4
5、个，记质量在间的生蚝的个数为，求的分布列及数学期望.19.已知直三棱柱中，,点在线段上.（1）证明：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆 的离心率为，且椭圆过点，过点做两条相互垂直的直线分别与椭圆交于四点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.已知关于的方程有两个不同的实数根 .（1）求实数的取值范围；（2）求证：.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，曲线经过伸缩变换 后得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程为.（1）
6、求出曲线的参数方程；（2）若分别是曲线上的动点，求的最大值.23.已知函数.（1）解不等式：；（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、B 12：A二、填空题13. 14. 15. 16. 三、解答题17.解：由题意， 所以，所以.（2）设，则在中， ，解得或（舍去），所以，在中，.18.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为，所以购进，生蚝的数列均为（只）；（2）由表中数据知，任意挑选一只，质量在间的概率为，的可能取值为，则,所以的分布列为所以 19.解：（1）不妨设，则,在和中，所以，所以，所以
7、,所以，因为,因为为直三棱柱，所以平面，所以，所以平面，因为点在线段上，所以. （2）由（1）知，平面，建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设，则,所以，设平面的法向量为，则，即，取，则平面的法向量为，设平面的法向量，则，即，取，则平面的法向量为， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.解：（1）由题意知 ，所以椭圆的方程为.（2）因为，所以分别为的中点，当两直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为 ，则直线的方程为，联立 ，得，所以的中点的坐标为，同理，中点的坐标为，所以，所以直线 的方程为，即，所以直线过定点，当两直线的斜率分别为0和不存在时，则直线的方程为，也过点，综上所述，直线过定点
8、.21.解：因为，所以，令，则，令，解得，令，解得，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，又当时，当时，画出函数的图象，要使函数的图象与有两个不同的交点，则，即实数的取值范围为.（2）由（1）知，不妨设，则，要证，只需证，因为，且函数在上单调递减，所以只需证，由，所以只需，即证，即证对恒成立，令，则因为，所以，所以恒成立，则函数在的单调递减，所以，综上所述.22.解：（1）曲线经过伸缩变换，可得曲线的方程为 ，所以参数方程为为参数）曲线的极坐标方程为，即，所以曲线的直角坐标方程为，即，所以其参数方程为为参数）（2）设，则到曲线的圆心 的距离，因为，所以当时，所以23.解：（1）由题意知，原不等式等价于或或截得或或，综上所述，不等式的解集为.（2）当时，则，此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意；当时，则函数在上单调递减，在上单调递增，要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，解得；综上所述，实数的取值范围为.