1、2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第1页 2022.62022 年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学 模拟试卷2022.6考生注意：1.本场考试时间 120 分钟，试卷共 5 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答需填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位，在试卷上作答一律不得分.4.用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共 54 分，其中 16 题各 4 分，712 题各 5 分）1.已知12,z zC，且122,34zi z
2、i=+=（其中i 为虚数单位），则12zz=_2.已知集合2|230,|0Ax xxBx x=，则 AB=_3.设有函数()22xxf xa=+是定义在 R 上的奇函数，则a=_4.已知方程组111222a xb yca xb yc+=+=的增广矩阵为 2121mm，若方程组有无穷组解，则 m=_5.已知二项式()632x，在其展开式中二项式系数最大的一项前的系数为_6.已知实数,x y 满足 350260 xyxy+，若0 x，则 zxy=的最大值为_7.已知各项均为正数的等比数列 na，若4562aaa=，则23Sa 的值为_8.受新冠肺炎疫情影响，上海市启动了新一轮防控.以下为上海某高校
3、某天计划餐食及其单价.每个套餐提供 3 种类型食物，其中至少有一种荤食和一种素食（每个套餐中的食品种类不重复），且总价不能高于 10 元，则可行的搭配方案种类数量为_种类荤食荤食素食素食素食单价（元）4.005.001.002.503.009.已知双曲线22221(,0)xya bab=的焦点到渐近线的距离为 2，且直线 20 xy=与双曲线没有交点，则 a 的取值范围是_10.已知矩形 ABCD，P 是矩形内一点，5AP=且 P 到 AB 的距离为 2.若将 矩形 ABCD 绕 AD 顺时针旋转3，则线段 AP 扫过的区域面积为_2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第2页 Helios
4、Yu 保留版权11.设实数0a 且1a ，已知函数()xxaf xaa=+，则()()()lg 5lg 2 5ff+=_12.已知向量(),1,2ia b c i=，其中1,12ab=，18a b=且0iicat a=+（0aaa=）.设icb与 b的夹角为i，若对于任意 12,0t t，总有12coscosk，则 k 的最小值为_二、选择题（本大题共 20 分，每小题各 5 分）13.已知 ab，0c，则下列不等式中恒成立的是（）A.acbcB.22a cb cC.22acbc+D.22acbc14.设,A B 为随机事件，P 为事件出现的概率.下列阴影部分中能够表示()P AB 的是（）A
5、.B.C.D.15.设等差数列1210,a aa，首项12=a.设实系数一元二次方程20+=kka xxa的两根为12,x x.若存在唯一的(1,2,10)=ka k，使得123xx，则公差 d 的取值可能为（）A.14B.34C.54D.7416.设()f x 是定义在非空集合 S 上的函数，且对于任意的0 xS，总有0()f xS.对以下命题：命题 p：任取S，总存在S，使得()f=；命题 q：对于任意的12,x xS，若12xxS，则()()12f xf xS.下列说法正确的是（）A.命题,p q 均为真命题B.命题 p 为假命题，q 为真命题C.命题 p 为真命题，q 为假命题D.命题
6、,p q 均为假命题2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第3页 2022.6三、解答题（本大题共 76 分）17.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知正四棱柱1111ABCDA BC D，其中3AB=，12 3AA=.（1）若点 P 是棱1AA 上的动点，求三棱锥1BPBC的体积.（2）求点1D 到平面1ACB 的距离.18.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知函数()cos,f xx=，1()2g xfx=+，其中0,2（1）若12=且直线2x=是()g x 的一条对称轴，求()g x 的递减区间和周期；（2）若
7、21,3=，求函数()()()h xfx g x=在 0,2上的最小值；19.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）自 2017 年起，上海市开展中小河道综合整治，全面推进“人水相依，延续风貌，丰富设施，精彩活动”的整治目标.某科学研究所针对河道整治问题研发了一种生物复合剂.这种生物复合剂入水后每 1 个单位的活性随时间 x（单位：小时）变化的函数为()25664,04412,412xxuxaxx+=+，已知当4x=时，u 的值为 28，且只有在活性不低于 3.5 时才能产生有效作用.（1）试计算每 1 个单位生物复合剂入水后产生有效作用的时间；（结果精确到 0
8、.1 小时）（2）由于环境影响，每 1 个单位生物复合剂入水后会产生损耗，设损耗剩余量v 关于时间 x 的函数为1,0121vxx=+，记u v 为每 1 个单位生物复合剂的实际活性，求出u v的最大值.（结果精确到 0.1）2022 上海数学模拟 试卷共 4 页/第4页 Helios Yu 保留版权20.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）已知椭圆22:14xy+=，12,F F 是左、右焦点.设 M 是直线():2l xt t=上的一个动点，连结1MF，交椭圆 于()0NN y.直线l 与 x 轴的交点为 P，且 M 不与 P 重合.
9、（1）若 M 的坐标为 3 3 5,28，求四边形2PMNF 的面积；（2）若 PN 与椭圆 相切于 N 且1214NF NF=，求2tanPNF的值；（3）作 N 关于原点的对称点 N，是否存在直线2F N，使得1F N 上的任一点到2F N 的距离为237，若存在，求出直线2F N 的方程和 N 的坐标，若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）设有数列 na，若存在唯一的正整数()2k k，使得1kkaa，则称 na为“k 坠点数列”.记 na的前 n 项和为nS.（1）判断：()2nna=，*121,2,2,
10、2nnnnbnNn+=是否为“k 坠点数列”，并说明理由；（2）已知 na满足111,1nnaaaa+=+，且是“5 坠点数列”，若2lim3nnSn=，求 a 的值；（3）设数列 na共有 2022 项且10a.已知111pqaaas+=，232022aaat+=.若 na为“p 坠点数列”且 nS为“q 坠点数列”，试用,s t 表示2022S.2022 年全国普通高等学校招生入学统一考试上海 数学模拟 答题卡姓名 _ 考场号_ 座位号 _准考证号注意事项1.答题前，考生务必先认真核对条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号，无误后将本人姓名、考生号、考场号和座位号填在相应位置，同时将背面的
11、座位号填涂在指定的位置。2.答题时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写；选择题填涂时，必须用 2B 铅笔按图示规范填涂。3.必须在题目所指示的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液和修正带。一、填空题 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.二.选择题 13 a b c d 14 a b c d 15 a b c d 16 a b c d 三.解答题 17请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效条形码粘贴区（居中）1819请在各题目的答题区域内作
12、答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效准考证号：姓名：准考证号：姓名：20请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效准考证号：姓名：21请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效准考证号：姓名：2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第1页 Helios Yu 保留版权2022 年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学 模拟试卷（二）2022.6参考答案及评分细则 教师注意：1.本解答列出试题的解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分.2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该试题的评阅.当
13、考生的解答在某一步出现了错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的评分.这时原则上不应超过后面部分应给分数之半.如果有较严重的概念性错误，就不给分.一、填空题（本大题共 54 分，其中 16 题各 4 分，712 题各 5 分）1.15i+；2.()0,3；3.1；4.2；5.160；6.5；7.6；8.6；9.)1,+;10.56 ；11.1；12.98；1.【】1223415zziii=+=+；2.【】()()()1,3,0,0,3ABAB=+=；3.【】()00101faa=+=；4.【】224022mDmmm=，而1212,2121xy
14、mDm Dmm=+=要使0 xyDD=，则2m=；5.【】二项式系数6,06,nCnnN，共有 7 项，则最大项为36C.所对应的展开式中的项为()()333362Cx，系数为 160；2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第2页 Helios Yu 保留版权6.【】作出可行域如图所示，通过直线的平移，得到()max055z=；7.【】可知3452111122102a qa qa qqqq=+=，则211223116Saa qqaa qq+=；8.【】首先假设两荤一素的情形，则只可能选择荤食+荤食+素食的组合.接着假设一荤两素的情形，若选择荤食，此时由于任选两种素食的价格均不超过 6.0
15、0 元，共23C 种；若选择荤食，则只可能选择素食+素食或素食+素食两种.总计23126C+=种.9.【】由题意，2yx=的斜率大于或等于双曲线的渐近线的斜率.过双曲线的右焦点 F 作 FA 垂直于byxa=，如图所示.则2FA=，而 tan21bFAAOFaaOA=.本题亦可用解析法设直线方程解出答案.10.【】线段 AP 扫过的区域面积即为以 1 为半径，母线长为 5 的圆锥的侧面积的 16，即115666SSrl=侧；11.【】()()()()()lg 5lg 2 5lg 51lg 5ffff+=+，而()()()()111111xxxxxxxxaaaaaaaaf xfxaaaaaaaa
16、+=+=+，则()()()lg 5lg 2 51ff+=；亦可使用特殊值法，令10a=，直接计算出结果.86422461055101520OFA2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第3页 Helios Yu 保留版权12.【】不妨设 aOA=，bOB=，则向量问题可转化为如下解三角形问题：由1coscos4a bOA OBAOBAOB=，为锐角，同时由余弦定理，222cos1ABOAOBOA OBAOB=+=而0(0)iiicat at=+实际上表示的是OA 的延长线OA.故icbOAOBBA=，而 bBO=，则icb与 b 的夹角ABO=.可知，随着 OA 的增大，ABO也在增大，则
17、cos 在减小，由题意，只需求cos 所趋近的最大值和最小值即可.第一种极限情况，当 A 与 A 重合时，2227coscos28BOBAOAABOBOBA+=第二种极限情况，当 A 位于OA的延长线无穷远处时，BA 可看作与OA 平行，根据两条平行直线同旁内角互补的性质，()1coscoscos4AOBAOB=由于12coscosk恒成立，则719848k+=，则 k 的最小值为 98.二、选择题（本大题共 20 分，每小题各 5 分）13.D；14.C；15.B；16.B；15.【】已知方程为一元二次方程，则0ka.首先计算方程的根的判别式214ka=，并进行分类讨论.第一种情况，若214
18、0ka=，即214ka，则212143kkaxxa=，解得21174ka.OBAOBAA2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第4页 Helios Yu 保留版权 第二种情况，若2140ka=，即214ka，则212413kkaxxa=，解得2114ka，故综合上述两种情况，21,17ka才能满足不等式成立.而()()22222214244kkakdad kddkdd=+=+.若14d=，则2267,aa 均符合要求；若34d=，则仅有23a 符合要求；若54d=，则2223,aa 均符合要求；若74d=，则没有符合要求的项；16.【】命题 p 显然是错的，下分析命题 q 为真命题.关注
19、到12,x x 的任意性，不妨设12xx=，则()0,0fS，这是很重要的一点.若()00f=，易知 0S=，若()00f，则可验证 S 为无限集.上述为分析过程，下利用反证法进行证明.不妨假设()()12f xf xS，而由于12,x xS，由定义，()()12,fxfxS，则()()12f xf xS，与假设矛盾.2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第5页 Helios Yu 保留版权三、解答题（本大题共 76 分）17.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）实际上需求三棱锥1PB BC的体积.由正四棱柱，1112 3,3,3BBAABCABA
20、 BAB=（1 分）三角形1B BC的面积为11113 2 33 322B BCSBC BB=（3 分）因为 P 是棱1AA 上的动点且1AA 与平面11BCC B 平行，则只需写出1AA 与平面11BCC B 间的距离即可.由于1A B 平面11BCC B，不妨记三棱锥的高为1A B（4 分）则三棱锥1PB BC的体积111113 333 333P B BCB BCVSA B=（6 分）（2）以 D 为原点，如图建立空间直角坐标系.（7 分）则()()()()113,0,0,3,3,2 3,0,3,0,0,0,2 3ABCD（8 分）可知()()()1113,3,0,3,3,0,3,0,2
21、3D BCACB=（9 分）设平面1ACB 的法向量为(),nx y z=则13300332 3002yxxyn CAxzzxn CB=+=（11 分）不妨设()2,2,3n=，同时设点1D 到平面1ACB 的距离为 d 则111212 111111n D Bdn=（13 分）故点1D 到平面1ACB 的距离为12 1111（14 分）18.（本题满分 14 分，其中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）可知()11cos 22g xx=+，同时令 1122xk+=，代入2x=得2,2kkZ=+，故3222=+=，则()13cos 24g xx=+（3 分）则周期24T=，（4 分
22、）再令132,224xkk+，即34,4,22xkkkZ+为()g x 的递减区间.（6 分）（2）可知()cos3g xx=+（7 分）()()coscoscos cos33h xxxxx=+=+（8 分）21313coscossincossin cos2222xxxxxx=（9 分）xyz2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第6页 Helios Yu 保留版权 1 1cos23 sin2224xx+=（10 分）11sin 2264x=+（11 分）由于52,666x，则在 2623xx=取最小值（12 分）最小值为1113244h =+=（14 分）19.（本题满分 14 分，其
23、中第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）（1）由于()428f=，则72a=（1 分）当04x时，()2256643.556.51404f xxxxx=+（2 分）解得0.254x.（3 分）当 412x时，()()7 123.54112f xxx=（4 分）即产生有效作用的时间段为0.2511x，故产生有效作用的时间110.2510.7510.8t=小时.（6 分）（答句不写倒扣 1 分）（2）当04x时，令1tx=+，则)1,5t 同时()1256656165133tu vtttt t=+=+（7 分）再令6561mt=，则)4,264m 则26511156161131736565m
24、u vmmmm=+（8 分）由基本不等式，156161561631723172 15616317mmmm+=+当且仅当)156164,264m=时等号成立（9 分）则u v在)0,4 上的最大值为2656.456.52 15616317u v=+（11 分）当 412x时，7 1271312121xu vxx=+则此时u v在4,12 是单调递减的（12 分）则最大值在4x=时取到，285.65u v=（13 分）故u v在0,12 上的最大值为6.5.（14 分）20.（本题满分 16 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）（1）可知：()13:312MF
25、lyx=+（1 分）与椭圆方程联立可得：2132 3450 xx+=，解得3x=（负值舍去）2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第7页 Helios Yu 保留版权 （这是由于在 M 的牵制下，只可能3Nx ）即13,2N（2 分）故1 21132 3222NF FS=且11 5 3 525 322832PF MS=（3 分）则211 29332PMNFPF MNF FSSS=（4 分）（2）由于直线 PN 的斜率必存在，则设():PNlyk xt=与椭圆方程联立可得：()2222148440kxk txk t+=由相切，()22 216 140kk t=+=，则2214kt=（5 分
26、）同时有韦达定理21228214Nk txxxk+=+，代入2214kt=得4Nxt=（6 分）故2222414NNxtyt=而222122122134NNtNF NFxyt=+=，解得4323t=（7 分）则13,2N（8 分）故在直角三角形2PNF中，2222 3tan3PFPNFNF=（10 分）（3）由于 N 与 N，1F 与2F 是两组关于原点的对称点，由对称性知 四边形12F NF N 是平行四边形，则2NF 与1NF 是平行的，故1F N 上的任一点到2F N 的距离均为两条平行线间的距离 d.（11 分）易验证，当03x=时，2NF 与1NF 之间的距离为2 3，不合要求（12
27、 分）设()00,N xy，其中()03,2x ，则()20033NFylxx=发现当03x 时，222 321o NFkddk=+，其中003ykx=（13 分）则22 32 371kdk=+，整理得2148k=（14 分）代入003ykx=得：()2200483yx=，代入220014xy=得200132 3450 xx=由于()03,2x ，所以015 313x=，15 31,1326N（15 分）则2F Nl的直线方程为()3312yx=（16 分）注意：本题中容易出现多解，原则上在产生多解的情况下第（1）小题得分最高 2 分，第（3）小题得分最高 4 分.2022 上海数学模拟 评分
28、细则共 9 页/第8页 Helios Yu 保留版权21.（本题满分 18 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）（1）对于()2nna=，由于123452,4,8,16,32aaaaa=，则存在2345,aaaa，不满足定义，故 na不是坠点数列.（2 分）对于121,22,2nnnnbn+=，容易发现12343,5,4,8bbbb=，即在前 4 项中只有23bb.而对于3n 起，由于1112220nnnnnbb+=，即1nnbb+对于4n 是恒成立的.故 nb是“3 坠点数列”（4 分）（2）由绝对值定义，101aa+.又因为 na是“5 坠点数列”，则
29、 na中只存在45aa且1a .则当且仅当4n=时，()11nnaaa+=+，其余均为11nnaaa+=+（6 分）故可分类列举：当4n 时，12341,2,23,34aaaaaaa=+=+=+，当5n 时，4223,34,aaaa=+=+，分组求和知：当4n 时，()()21111222nn naaSnann+=+=，则4610Sa=+（7 分）当5n 时，()()()()()44542312nnnSSnaa=+21538822aanna+=+（9 分）（若考生没有给出5n 时完整的nS 或表达式有误，则不给分）则当 n 时，2221538822limlimnnnaannaSnn+=（10
30、分）132a+=则5a=（12 分）注意：考生在解答过程中可不必给出4n 时nS 的通项公式，只需给出4S 即可，这是由于数列极限的定义可忽略前有限项对极限的影响，但5n 时的nS 的通项公式必须给出，这是由于教材中并没有体现只通过对应的系数求此类极限的方法，这是对计算力和严谨性的考察，也是对于过分依赖技巧的规避.（3）结论：2022Sst=+（13 分）经过分析研究发现：pq=（14 分）下利用反证法予以证明.不妨设 pq，首先研究 nS.由于 nS为“q 坠点数列”，则只存在1qqSS，即0qa（15 分）而对于12022k且 kq，则有1kkSS，即0ka 故在 na中有且仅有一项0qa，其余项均大于 0（16 分）2022 上海数学模拟 评分细则共 9 页/第9页 Helios Yu 保留版权又因为 na为“p 坠点数列”，则有且仅有1ppaa 同时，1210paaa，1120220ppqqaaaaa+，这与0qa 是矛盾的，则11pqpqaa=且0pa（17 分）则1as=，（18 分）故2022Sst=+.
