1、1.4.1充分条件与必要条件（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1（2021河北大名县第一中学高一阶段练习）设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】，但不能推出，从而判断出结论.【详解】时，故充分性成立，解得：或，故必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A2（2022全国高一专题练习）荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.“这句来自先秦时期的名言.此名言中的“积跬步”是“至千里”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用命题间的关
2、系及命题的充分必要性直接判断.【详解】由已知设“积跬步”为命题，“至千里”为命题，“故不积跬步，无以至千里”，即“若，则”，其逆否命题为“若则”，反之不成立，所以命题是命题的必要不充分条件，故选：B.3（2022全国高一专题练习）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】求解一元二次方程，结合充分性和必要性即可容易判断和选择.【详解】因为，故可得或，若，则不一定有，故充分性不满足；若，则一定有，故必要性成立，综上所述：“”是“”的必要不充分条件.故选：.4（2021江苏淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）“”是“”成立的是（）A充
3、分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分、必要条件的知识确定正确答案.【详解】，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A5（2022河南驻马店高一期末）“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解方程，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】解方程可得或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.6（2022贵州黔东南高一期末）对于实数x，“0x1”是“x2”的（）条件A充要B既不充分也不必要C必要不充分D充分不必要【答案】D【分析】从充分性和必要性的定义，结合题意，即可容易判断.【详
4、解】若，则一定有，故充分性满足；若，不一定有，例如，满足，但不满足，故必要性不满足；故“0x1”是“x2”的充分不必要条件.故选：.7（2022河南濮阳一高高一期中（理）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（）ABCD【答案】D【分析】根据全称命题的性质，结合充分不必要条件的定义进行求解判断即可.【详解】，因为命题“，”为真命题，所以有，显然选项A是充要条件， 由不一定能推出，由不一定能推出，由一定能推出，故选：D8（2022全国高一专题练习）已知命题p：“”，命题q：“”则p是q的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【分析】分析得到命题p：“或”
5、再判断即可【详解】命题p：令，可得，即，故或，解得或，故p是q的必要不充分条件故选：B二、多选题9（2021吉林汪清县汪清第四中学高一阶段练习）命题“1x3，a0”是真命题的一个充分不必要条件是（）Aa9Ba11Ca10Da10【答案】BC【分析】由命题为真求出a的范围，然后由集合的包含关系可得.【详解】由得，因为命题为真，所以，记为，因为要求命题为真的充分不必要条件，所以所选答案中a的范围应为集合A的真子集.故选：BC三、解答题10（2021吉林梅河口市第五中学高一期中）集合(1)若，求；(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围【答案】(1)，；(2)【分析】（1）将的值代入集合，然后根据交
6、集与并集的定义即可求解；（2）由题意，可得，根据集合的包含关系列不等式组求解即可得答案.(1)解：当时，又，所以，；(2)解：因为是的必要条件，所以，即，所以有，解得，所以实数m的取值范围为.11（2022黑龙江齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知集合，(1)当时，求，；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围【答案】(1)，；(2)【分析】（1）求出集合B，进而求出交集和并集；（2）根据是的充分不必要条件得到A是B的真子集，进而得到不等式组，求出实数的取值范围.(1)当时，所以，；(2)是的充分不必要条件A是B的真子集，故即所以实数m的取值范围是.【能力提升】一、单选题1（2021浙江
7、省杭州第二中学高一期中）“ab”是“a2b2”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过举反例，结合不等式的性质，由充分条件与必要条件的概念，即可判定出结果.【详解】若，则满足，不满足；由可得，不能推出，所以“ab”是“a2b2”的既不充分也不必要条件.故选：D.2（2021江西模拟预测）设，则“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C既不充分也不必要条件D充要条件【答案】B【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件故选：B二、多选题3（
8、2021全国高一课时练习）（多选）下列是“，”的必要条件的是（）ABCD【答案】BD【分析】由判断各个选项是否成立可得【详解】取，得，故A不是“，”的必要条件；由，得，故B是“，”的必要条件；取，得，故C不是“，”的必要条件；由，得，故D是“，”的必要条件故选：BD4（2021浙江效实中学高一期中）下列命题中是真命题的为（）A“”是“”的充要条件B“”是“”的必要不充分条件C“或”是“”的充要条件D“集合”是“”的充分不必要条件【答案】BD【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次分析即可得答案.【详解】解：对于A选项，当时，但反之，不能得到，故错误；对于B 选项，不能得到，反之能够得到，故正确
9、；对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.故选：BD5（2021辽宁高一阶段练习）下列命题是真命题的有（）A一次函数的图像一定经过点B已知，则是的充要条件C外心在某条边上的三角形一定是直角三角形.D若能被整除，那么都能被整除.【答案】AC【分析】转化，令，可判断A；若，则，可判断B；若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，可判断C；取可判断D【详解】选项A，令，则，与无关，故一次函数的图像一定经过点，正确；选项B，若，则，故是的充分不必要条件，错误；选项C，若三角形的外心在某条边上，则这条边所对的圆周角为直角，故一定是
10、直角三角形，正确；选项D，当时，能被整除，但不能被整除，错误.故选：AC三、填空题6（2021浙江丽水外国语实验学校高一阶段练习）已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是_.【答案】0，1【分析】由是的必要条件，则，即，从而可得答案.【详解】设集合 由是的必要条件，则，即 所以 ，解得 故答案为：0，17（2021上海市延安中学高一期中）已知条件：，条件：，若是的必要条件，则实数的取值范围为_.【答案】【分析】根据必要条件的定义可得到两集合的包含关系，由包含关系可构造不等式组求得结果.【详解】是的必要条件，解得：，即的取值范围为.故答案为：8（2022江苏高一）从符号“”“”“”中选择适当的一
11、个填空：（1）_；（2）_；（3）_；（4）_.【答案】 【分析】根据特例结合交集并集的定义可推导（1）（2）；由交集并集补集的定义可推导（3）（4）【详解】（1）令，则，此时，但，故；（2），若，则必有，所以；令，则，此时，但，故；综上所述，；（3）若，则，则且，则且，则，故；若，则且，则且，则，则，故；综上所述，；（4）若，则，则或，则或，则，故；若，则或，则或，则，则，故；综上所述，；9（2021江苏高一期中）已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_.【答案】【分析】根据充分条件转化为集合,建立不等式求解即可.【详解】因为“”是“”的充分条件，所以,所以，故答案为：四、解答
12、题10（2021安徽高一期中）设集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接求出两个集合的并集即可；（2）先将必要不充分条件转化为集合间的包含关系，然后根据集合是否为空集进行分类讨论即可(1)由题意得：当时，故(2)由“”是“”的必要不充分条件可得：当时，得解得：；当时，解得.综上，的取值范围为：11（2022江苏扬州高一期末）已知集合，(1)若a1，求；(2)给出以下两个条件：ABB；“是“”的充分不必要条件在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：若_，求实数a的取值范围（如果选择多个条件分别解答，
13、按第一个解答计分）【答案】(1)；(2)【分析】（1）由并集定义计算；（2）若选择，则由ABB，得，然后分类讨论：与两类求解；若选择，得是的真子集，同样分类与求解(1)当时，集合，因为，所以；(2)若选择，则由ABB，得当时，即，解得，此时，符合题意；当时，即，解得，所以，解得：；所以实数的取值范围是若选择，则由“是“”的充分不必要条件，得AB当时，解得，此时AB，符合题意； 当时，解得，所以且等号不同时取，解得；所以实数的取值范围是12（2022辽宁朝阳高一开学考试）已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】【分析】根据给定条件可得AB，再借助集合的包含关系列式计算
14、作答.【详解】因“”是“”的充分不必要条件，于是得AB，而集合，因此，或，解得或，即有，所以实数a的取值范围为.13（2021全国高一课时练习）从，这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，并解答问题：已知集合，_，是否存在实数a，使得“”是“”的必要不充分条件？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由【分析】由“”是“”的必要不充分条件可得，再选择各条件，借助集合的包含关系列式计算即得.【详解】选条件，因为“”是“”的必要不充分条件，则有，又，则或，解得或，因此，所以实数a的取值范围为.选条件，因为“”是“”是必要不充分条件，则有，又，则或，无解，所以不存在满足题意的实数a.选条件，
15、因为“”是“”的必要不充分条件，则有，又，所以或，无解，所以不存在满足题意的实数.14（2021上海格致中学高一阶段练习）设集合.（1）证明：属于的两个整数，其积也属于；（2）判断32、33、34是否属于，并说明理由；（3）写出“偶数属于”的一个充要条件并证明.【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）为偶数，证明见解析.【分析】（1）设，则对进行化简，观察其是否满足集合M的条件，进行判断即可；（2）用反证法进行判断即可；（3）证明充要条件时既要证充分性，又要证必要性.【详解】（1）设集合中的元素，所以，因为，所以，所以有，则，所以属于的两个整数，其积也属于.（2）因为，所以；假设，则，因为，所以与有相同奇偶性，因为33为奇数，所以与一个为奇数一个为偶数，则与有相同奇偶性相矛盾，所以不成立，所以；假设，同上可得，因为，所以与有相同奇偶性，因为34为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，而34不是4的倍数，所以假设不成立，所以.（3）“偶数属于”的一个充要条件是为偶数.充分性：因为为偶数，设，所以，而，所以满足集合，所以偶数属于；必要性：因为偶数属于，所以，因为，所以与有相同奇偶性，因为为偶数，所以与均为偶数，所以应为4的倍数，必为4的倍数，即必为2的倍数，所以为偶数.【点睛】本题主要考查集合与元素之间的关系以及充要条件，解题的关键是会用反证法证明，以及会证明充要条件.