1、巩固层知识整合同角三角函数基本关系和诱导公式的应用【例1】(1)已知sin()2cos(3)0，则 .(2)已知f().化简f()；若f()，且，求cos sin 的值；若，求f()的值思路点拨先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值(1)由已知得sin 2cos 0，故tan 2，则.(2)解f()sin cos .由f()sin cos 可知，(cos sin )2cos22sin cos sin212sin cos 12，又，cos sin ，即cos sin 0，cos sin .62，fcossincossincossin.1将本例(2)中“”改为“”，“”改为“0”，求cos
2、 sin .解因为0，所以cos 0，sin 0且|cos |sin |，所以cos sin 0，又(cos sin )212sin cos 12，所以cos sin .2将本例(2)中的用tan 表示.解.1牢记两个基本关系式sin2cos21及tan ，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明在应用中，要注意掌握解题的技巧比如：已知sin cos 的值，可求cos sin .注意应用(cos sin )212sin cos .2诱导公式可概括为k(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限三角函数的图象变换问题【例2】(1)已知曲线C1：ycos x，C2：y
3、sin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2(2)将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A.BC0 D(1)D(2)B(1)因为ysincoscos，所以曲线C1：
4、ycos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线ycos 2x，再把得到的曲线ycos 2x向左平移个单位长度，得到曲线ycos 2cos.故选D.(2)ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位后得ysinsin.若该函数为偶函数，则k，kZ，故k.当k0时.故选B.1函数ysin x的图象变换到yAsin(x)，xR图象的两种方法2对称变换(1)yf(x)的图象yf(x)的图象(2)yf(x)的图象yf(x)的图象(3)yf(x)的图象yf(x)的图象1将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sinD函数y
5、2sin的周期为，将函数y2sin的图象向右平移个周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y2sin2sin，故选D.三角函数的性质【例3】(1)若函数f(x)3sin(2x)(0)是偶函数，则f(x)在0，上的单调递增区间是()A. B.C. D(2)已知函数f(x)2sina1(其中a为常数)求f(x)的单调区间；若x时，f(x)的最大值为4，求a的值思路点拨(1)先根据函数f(x)是偶函数，求，再依据单调性求增区间，最后与0，求交集(2)由2k2x2k，kZ求增区间，由2k2x2k，kZ求减区间先求f(x)的最大值，得关于a的方程，再求a的值(1)B因为函数f(x)3sin(2x)(0)是
6、偶函数，所以，f(x)3sin3cos 2x，令2k2x2k，得kxk，可得函数f(x)的增区间为，kZ，所以f(x)在0，上的单调递增区间为.(2)解由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调增区间为(kZ)，由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ，函数f(x)的单调减区间为(kZ)0x，2x，sin1，f(x)的最大值为2a14，a1.1求本例(2)中函数yf(x)，xR取最大值时x的取值集合解当f(x)取最大值时，2x2k，2x2k，xk，kZ.当f(x)取最大值时，x的取值集合是.2在本例(2)的条件下，求不等式f(x)1的解集解由f(x)1得2sin21，所以sin所
7、以2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以不等式f(x)1的解集为.三角恒等变换的综合应用【例4】已知函数f(x)sinsin xcos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在上的单调性解(1)f(x)sinsin xcos2xcos xsin x(1cos 2x)sin 2xcos 2xsin，因此f(x)的最小正周期为，最大值为.(2)当x时，02x，从而当02x，即x时，f(x)单调递增，当2x，即x时，f(x)单调递减综上可知，f(x)在上单调递增；在上单调递减三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等
8、变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为yAsin(x)k或yAcos(x)k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.2已知函数f(x).(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间解(1)由sin x0得xk(kZ)，故f(x)的
9、定义域为xR|xk，kZ因为f(x)2cos x(sin xcos x)sin 2xcos 2x1sin1，所以f(x)的最小正周期T.(2)函数ysin x的单调递减区间为(kZ)由2k2x2k，xk(kZ)，得kxk(kZ)，所以f(x)的单调递减区间为(kZ).三角函数在平面几何中的应用【例5】直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为.(1)将线段AB的长度l表示为的函数；(2)一根长度为5米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由(铁棒的粗细忽略不计)思路点拨(1)长度l可分成PA，PB
10、两段分别用表示(2)判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值解(1)由题意可知：l，其中0.(2)l，设tsin cos sin，因为0，所以，所以t(1，所以l.因为t在(1，上是增函数，所以t的最大值为，所以l的最小值为4.因为45，所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：(1)审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.(2)利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为yAsin(x)b的形式.(3)在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.3福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产
11、，焊接工王师傅每天都很忙碌今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？解连接OA，设AOP，过A作AHOP，垂足为点H，在RtAOH中，OHcos ，AHsin ，所以BHsin ，所以OBOHBHcos sin ，设平行四边形ABOC的面积为S，则SOBAHsin sin cos sin2sin 2(1cos 2)sin 2cos 2sin.由于0，所以2，当2，即时，Smax，所以当A是的中点时，所裁钢
12、板的面积最大，最大面积为平方米培优层素养提升【例】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上设OC与MN所成的角为.用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin 的取值范围解如图所示，设PO的延长线交MN于H，则PHMN，所以OH10.过O作OEBC于E，则OEMN，所以COE，故OE40cos ，EC40sin ，则矩形ABCD的面积为240 cos(40sin 10)800(4sin cos cos )，CDP的面积为240cos (4040sin )1 600(cos sin cos )过N作GNMN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GKKN10.连接OG，令GOK0，则sin 00，所以(tan 1)2，当且仅当tan 1，即tan 1时取等号，又tan 10,1，所以满足题意，此时ymin40(1)故当tan 1时，投影的图象最清晰，此时幕墙EF的高度为40(1) m.