1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。专题提升练(三)(专题四)(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014杭州模拟)已知q是等比数列an的公比,则“q1”是“数列an是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.等比数列an中,若a11,则数列an是递减数列;若0q2+2-4=0.7.已知数列an,若点(n,an)(nN*)在经过点A(8,4)的定直线l上
2、,则数列an的前15项和S15=()A.12B.32C.60D.120【解析】选C.方法一:因为点(n,an)在定直线l上,所以an为等差数列,由条件知(8,a8)在直线l上,l经过(8,4),所以a8=4,所以S15=15a8=60.方法二:可设定直线为y-4=k(x-8),知an-4=k(n-8),得an=k(n-8)+4,则an是等差数列,S15=15a8=154=60.8.已知函数y=f(x)(xR),数列an的通项公式是an=f(n)(nN*),那么“函数y=f(x)在1,+)上递增”是“数列an是递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必
3、要条件【解析】选A.若f(x)在1,+)上为增函数,则对任意nN*,有f(n)f(n+1),所以anan+1,所以an为递增数列,反之an为递增数列时,未必有f(x)在1,+)上单调递增.9.数列an的通项公式是关于x的不等式x2-xnx(nN*)的解集中的整数个数,则数列an的前n项和Sn=()A.n2B.n(n+1)C.D.(n+1)(n+2)【解析】选C.因为x2-(n+1)x0,所以0x0,b0,若是4a与2b的等比中项,则+的最小值为.【解析】由条件知:4a2b=()2,所以22a+b=21,所以2a+b=1,所以+=(2a+b)=5+5+2=9,等号在即a=b=时成立.答案:912
4、.(2014杭州模拟)在等差数列an中,若a2012+a2016=120,则2a2013-a2012的值为.【解析】设公差为d,因为a2012+a2016=120,所以a2014=60,所以2a2013-a2012=a2013+a2013-a2012=a2013+d=a2014=60.答案:6013.二次函数y=kx2(x0)的图象在点(an,)处的切线与x轴交点的横坐标为an+1,n为正整数,a1=,则S5=.【解析】因为点(a1,)即是图象上的点,所以k=1.由y=2kx得切线方程为y-=2kan(x-an),所以an+1=an-=an=an,所以an是以a1=为首项,以为公比的等比数列,
5、所以S5=.答案:14.设等比数列an的前n项和为Tn(nN*),已知am-1am+1-2am=0,且T2m-1=128,则m=.【解析】因为am-1am+1-2am=-2am=0且am0,所以am=2,又T2m-1=22m-1=128=27,所以2m-1=7,所以m=4.答案:415.无穷数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,的首项是1,随后两项都是2,接下去三项都是3,以此类推,记该数列为an,若an-1=13,an=14,则n=.【解析】把数列an如下分组:(1)(2,2)(3,3,3)(4,4,4,4),则an-1在第13组内,且是最后一个,an在第14组内且是第1个,因为前
6、13组共有1+2+3+13=91个数,所以第14组的第1个数为数列an的第92项,即n=92.答案:9216.(2014浙江五校联考)设等比数列an的前n项和为Sn,若a2014=3S2013+2,a2013=3S2012+2,则公比q=.【解析】由已知得a2014=3(S2012+a2013)+2=3+2=a2013-2+3a2013+2=4a2013,所以公比q=4.答案:417.已知正数数列an满足(a1+a2+an)2=+.则其通项公式为.【解析】由a1+a2+an=Sn知,当n2时,=+,所以-=(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=.因为an0,所以Sn+Sn-1=,所以当n3时,
7、Sn-1+Sn-2=,两式相减得an+an-1=(an-an-1)(an+an-1).因为an为正数数列,所以an+an-10,所以an-an-1=1.又=,a10,所以a1=1.=(a1+a2)2=+.由a20得a2=2,所以,当n2时,有an-an-1=1,所以,数列an是以1为首项,公差为1的等差数列.所以an=n.答案:an=n三、解答题(本大题共5小题,共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)18.(14分)(2014湖州模拟)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,且a1=11,b1=1,a2+b2=11,a3+b3=11.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)
8、求数列|an-bn|前12项的和S12.【解析】(1)设an的公差为d,bn的公比为q,则由a3+b3=a2+b2=a1可得可求得:d=-2,q=2,从而an=-2n+13,bn=2n-1(nN*).(2)|an-bn|=|13-2n-2n-1|=S12=(11-1)+(9-2)+(7-4)-(5-8)-(-11-211)=20+(8+16+211)-5+3+(-11)=4135.19.(14分)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=5,an+1=Sn+3n(nN*).(1)令bn=Sn-3n,求证:数列bn是等比数列.(2)令cn=,设Tn是数列cn的前n项和,求满足不等式Tn的n的最小值.
9、【解析】(1)b1=S1-3=20,Sn+1-Sn=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,=20,所以数列bn是等比数列.(2)由(1)知bn=2n,则cn=-,Tn=-,由Tn=-,n2012,即nmin=2013.【加固训练】已知数列an,点P(ai,ai+1)(i=1,2,n)在直线y=2x+k上,数列bn满足条件:b1=2,bn=an+1-an(nN*).(1)求数列bn的通项公式.(2)若cn=bnlog2,Sn=c1+c2+cn,求2n+1-Sn60n+2成立的正整数n的最小值.【解析】(1)依题意:an+1=2an+k,所以bn=2an+k-an=an+k,所以bn+1=an+1
10、+k=2an+k+k=2(an+k)=2bn,又因为b1=2,而=2,所以数列bn是以2为首项,2为公比的等比数列.即得bn=22n-1=2n(nN*),为数列bn的通项公式.(2)由cn=bnlog2=2nlog2=-n2n.-Sn=-(c1+c2+cn)=12+222+323+n2n,所以-2Sn=122+223+324+(n-1)2n+n2n+1,上两式相减得Sn=2+22+23+2n-n2n+1=-n2n+1=2n+1-n2n+1-2,由2n+1-Sn60n+2,即得n2n+160n,所以2n+160,又当n4时,2n+125=3260.故使2n+1-Sn60n+2成立的正整数n的最小
11、值为5.20.(14分)在等差数列an中,已知a3=5,a1+a2+a7=49.(1)求an.(2)若bn=(nN*),设数列bn的前n项和为Sn,试比较an+2与16Sn的大小.【解析】(1)由题意得:解得所以an=2n-1.(2)因为bn=,所以bn=,所以Sn=b1+b2+bn=+=,所以an+2-16Sn=2n+3-=,所以当n=1时,an+216Sn.21.(15分)(2014浦江模拟)已知数列an的前n项和Sn=,等比数列bn满足b1b2=2b3,且b1,b2+2,b3成等差数列.(1)求数列an和bn的通项公式.(2)设cn=,Tn为数列cn的前n项和,求Tn的取值范围.【解析】
12、(1)当n2时,an=Sn-Sn-1=-=n,n=1时,a1=1,所以an=n.设数列bn的公比为q,则所以2(2q2+2)=2q(1+q2),所以q=2,b1=4,所以bn=2n+1.(2)cn=,所以Tn=+,2Tn=+,由错位相减法得Tn=1-,因为Tn+1-Tn=1-=0,T1=1-=,所以Tn1.【加固训练】已知数列an的前n项和Sn=2an-2n+1.(1)证明:数列是等差数列.(2)若不等式2n2-n-30,所以不等式2n2-n-3,记bn=,n2时,=,所以n3时,1,(bn)max=b3=,所以0,所以成立)=,故存在M;所以符合,故为“嘉文”数列.关闭Word文档返回原板块